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《高中数学人教B版选修2-2学案：2312数学归纳法数学归纳法应用举例含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.3数学归纳法2・3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学习目标导航1.了解数学归纳法的原理.（重点、易混点）2.掌握数学归纳法的步骤.（难点）3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（难点）阶段1,认知预习质疑知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理数学归纳法阅读教材P69〜P72,完成下列问题.数学归纳法的定义—个与相关的命题，如果⑴；（2）在假设当吋命题也成立的前提下，推出当n=k+时命题也成立，那么可以断定，这个命题对〃取第一个值后面的所有正整数成立.【答案】自然数（1）当n取第一个值处时命题成立（2加=«胆N+，且So）o微体验o
2、判断（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）与正整数«有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（）（2）数学归纳法的第一步/?0的初始值一定为1.（）(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()【答案】(1)X⑵X(3)V［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：阶段2介作探究通关(分组讨论疑难细究)［小组合作型］用数学归纳法证明等式»例⑴用数学归纳法证明等式1+2+3+…+S+3)=迪¥土匀(用N_)吋，第一步验证斤=1吋，左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+
3、4(2)用数学归纳法证明5+1)"+2)••…(n+n)=2wXlX3X-X(2n-l)(neNJ,“从k到£+1”左端增乘的代数式为.【导学号：05410051】【自主解答】(1)当”=1时，左边应为1+2+3+4,故选D.(2)令J(n)=(n+1)(/?+2)-(/?+/?),则夬£)=伙+1)•伙+2)…伙+Q,fik+1)=伙+2)伙+3)…伙+Q(2£+1)(2£+2),所以代想-⑵°⑵^+2)k+l2(2R+1)・【答案】(1)D(2)2(22+1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是
4、1・2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“炉到的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n=k到〃=£+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n=k+成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出'F=k+1”，在书写J(k+1)时，一定要把包含的式子写出来，尤其是中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.［再练一题］1.下面四个判断中，正确的是()A.式子1+R+/+…中，当斤=1时，式子的值为1B.式子1+R+
5、Q+・・・+/Tswn+)屮，当”=1时，式子的值为1+比C.式子1+*+扌2”；i("WN+)中，当〃=1时，式子的值为1+
6、+
7、d.设/(")=计7+*+“・+#7("WN+)'则人'+1)=/W+3k+2+3k+3+3k+4【解析】A中，斤=1时，式子=1+E;B中，n=时，式子=1;C中，斤=1时，式子=1+*+*；D中，A^+1)=A^)+3^_
8、_2+3^+3+3A:+4_I+T-故正确的是C.【答案】CII用数学归纳法证明不等式⑴用数学归纳法证明不等式计7+出+・・・+*>等⑺22,用N+)的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左
9、边增加的式子是(2)证明:不等式+±<2yl7i(n匕N+)・【精彩点拨】(1)写出当n=k时左边的式子，和当n=k+l时左边的式子,比较即可.(2)在由n=k到〃=k+1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】⑴当n=k+1时左边的代数式是詁二+£*2+…+以*y+12E+2'增如了两项*I与2£+2,但是少了故不等式的左边增加的弋早导1+1一一1_1八丁疋2R+1丁22+2k+1(2R+l)(2R+2)・［答案］(2R+l)(2k+2)(2)①当n=时，左边=1,右边=2,左边v右边，不等式成立.②假设当n=k(k21且£W
10、N+)时，不等式成立，即1+士+士+…+±<2讥.<2讥+则当n=k+l时，12y/lcylk++1y/lc+1y/lc+1<(讥尸+0/比+1尸+1讥+12伙+1)讹+1=2y［k+1.・••当n=k~~时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意“WN+都成立.［再练一题］2•试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.11713【证明】①当n=2时，币+卫=巨＞历②假设当n=k（k^2且kWN+）时不等式成立，“1I1II113即审+吊+・・・+丑>耳那么当n=k+时,k+2+rh+・・・+^n5+^——+—-—+—-—+£+2£+3十2厂2
11、£+12k+2^k+1k+1l.i.i..n—+=+〒+・・・£+&+1£+2£+32k++
