2018版高中数学人教b版选修2-2学案：2.3.1 数学归纳法

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案2．3.1　数学归纳法明目标、知重点　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．2．应用数学归纳法时特别注意(1)用数学归纳法证明的对象是与自然数相关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列

2、成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一　数学归纳法的原理思考1　多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答　(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2　用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？6201

3、7-2018学年人教B版高中数学学案答　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(递推是关键)假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．其中，利用假设是证题的核心．思考3　用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1

4、时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n∈N＋等式都成立．答　证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二　用数学归纳法证明等式例1　用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝(n∈N＋)．证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝，那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝62017-2018学年人教B版

5、高中数学学案＝，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．反思与感悟　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．证明　当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，所以等式成立．假设n＝k(k∈N＋)时，1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．那么当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋[－]＝＋＋…＋＋，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上

6、所述，对于任何n∈N＋，等式都成立．探究点三　用数学归纳法证明数列问题例2　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．解　S1＝＝；S2＝＋＝；S3＝＋＝；62017-2018学年人教B版高中数学学案S4＝＋＝.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝.下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即＋＋＋…＋＝，那么，当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，所以，当n＝k＋1时猜想

7、也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N＋都成立．反思与感悟　归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2　数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．解　由a1＝2－a1，得a1＝1；