高考题中的优美解剖析

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1、数学高考题的优美解剖析江西省赣州市第一屮学（张军华）优美解在于解题时思考问题的角度、以及采用的方式、方法有独到和特别之处，能把握住问题的本质，可以将复杂问题，转化为简单的问题求解.一.改变外形结构有目的地改变式子外形结构，以方便数学公式的使用，使所求问题朝着目标快速发展.例1（2010*重庆）已知兀,y>0,x+2y+2xy=8,则兀+2y的最小值（）A.3B.4C.-D.-22问题分析：在求某个式子的最大值或最小值时，常常利用“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”这一结论求最大、小值.要求'和式'x+2y的最小值，只要将'积式'化为常数，然而这个积是什么？是x・

2、2y?还是带有x、2y结构形式的变形乘积，或是（a+x）（b+2y）等？优美解析:由兀、）>0+2y+2xy=8=兀+1+2y+2xy=9n（1+兀）+2y（1+x）=9n（l+x）（l+2y）=9,而9=（l+x）（l+2y）s（l+"+l+S）2^x+2y>4,故选B・剖析：本题采用将条件（l+x）（l+2y）二8两边同加1的方式，将和无+2y+2小（常数），巧妙转化为积（1+兀）（l+2y）（常数）；再将积（1+兀）（l+2y）（常数）的形式，转化为和式（1+兀）+（l+2y）=2+（x+2y）的形式，求lBx+2y的最小值.这里利用了a、b>0,“s（X±）2基本

3、不等式.2常规解析：•・•x，y>0,x+2y>2y,由S=x+2y+2xy<兀+2y+（=空）2,令t=x+2y>0,得/+->8,解得宀4或心-8（舍），故选2°4B.评注：常规解析，利用了变量代换的方式•x+2y的结构保留着，将积2xy转化为兀+2y（通过基本不等式x+2y>2J兀.2y）,把条件x+2y+2xy=8转化为关于'和式，x+2y的一元二次不等式，即兀+2怡2j8F+2y）,解不等式，求x+2y的最小值.一.化归为两个变量间的函数关系多变量问题（三个以上），初看无从着手，但只要作一些转换，如换元或化归为两个变量，利用函数关系，问题就不难解了.例2（201

4、1重庆文科15）若实数a、b、c满足2a+2b=2a+b,2a+2〃+2'2如,贝！Jc的最大值是优美解析：将2a+2b=2a+b代入2a+2b+2e=2a+b+c9得2a+b+2C=2a+b+c,2C=—；—,又2碱二2°+2。2丁2点（2我>0）=2*50（舍），2a+h>4,2a+h-1令2我=无，则2J亠（C4）,其为单调减函数，当x=4时,2。最大，有x-12“冷所以c>log2^=2-log23,所以c的最大值为2-log23・剖析：本题进行了整体代换，将2“+2〃代换为2^,将四个变量2役2〃、2<、2武转化为两个变量2。、2我的函数关系，把2我看成一个变量

5、，即2-=l，进而把问题转化为求函数沧）二丄7（令2—沧），2我=兀）的最2—1x—I值，因此，只需求出变量2我的取值范围即可.一.注意类比和转化二次不等式与二次方程、二次函数有着不可分割的联系，仔细观察,注意发现，优美就在其中.例3如果ax2+bx+c>0的解集为｛兀

6、x<-2或兀>4｝,那么函数f(x)=优美解析：由己知得a>0,»为二次函数,a^+bx+c/有(且开口向上,乂经过(-2,0),(4,0)两点，对称轴为x=^±4=l,如图，故知f(5)的值最大,2其次是f(-l),再其次是f(2),故选C・剖析：本解将二次不等式ar+hx+c>0,转化为二次函数»=a

7、r+bx+c,借助二次函数的图象，比较函数值的大小，不仅直观，而且简便.常规解析：•・•不等式a^C+bx4-c>0的解集为｛x

8、x<-2或x>4｝,.皿〉。且方程a^+bx+c=0有两根・2或4,由韦达定理得2=2,£=&所以aaf(x)=a^+bx+c=a(x2+-x4--)=tz(x2-2x-8)=a(x+2)(x-4),a>Q,作出函数图象，aa再求解.剖析：通过不等式ax+bx+c>0的解集｛兀

9、x<-2或x>4｝的特点，确定抛物线的开口方向，借助韦达定理，将系数a、b、c转化为a与两根■2、4的关系(多了该步的过程).一.知识的联系与迁移知识的联系与迁移，往往

10、是把一个问题从一个角度，迁移到另一个角度，目的是将复杂的变得简单，把不好解或不可解的问题，变得好解或可解.女口：求圆外一点的切点弦方程，可转化为求两相交圆的相交弦方程.例4(2011江西理科14)若椭圆4+4=1的焦点在x轴上，过点crtr(b-)作圆兀2+于二1的切线，切点分别为A、B,直线仙恰好经过椭2圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是优美解析：依题意，其中一切点为A(1,0),设P(l,1),由题意知PA=PB,则以P为圆心，网为半径的圆方程为(X-1)24-(y-l)2=(l)2,22[x2+y2=1该圆过B点，