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1、高考数学创新题小题汇编1.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(X],yJ、0(兀2，))两点之间的"直角距离''为J(P,0=
2、x1-x2
3、+
4、y1-^2
5、.若点A(T,3),则d(A,O)=:已知点B(l,0)，点M是直线也_y+R+3=0伙〉0)上的动点，d(B,M)的最小值为•3_..,_2—伙21)【解析】4;1的情形：此时若M介于PQ间例如
6、点A/】，我们有：d(B,M.)=BN^N.Mi>BNy+NyP=BP,也就是M处在PQ间时d(B,M)在P点取最小值；若M在QP延长线上例如点M}:=+,所以此时d(B,M)在P点、取最小值；若M在PQ延长线上例如点M2:d(B,M2)=BN2+N2M2>B(^,所以此时d(B,M)在0点取最小值；又由于&>1时3BQ>BP,所以综合知mind(5M)=
7、BP
8、=2+—;k类似地可以知道：若k<,则M分别在QP延长线上、PQ间、PQ延长线上时，d(B,M)分别在P点,Q点、,Q点取最小值,又此时BP>BQ,故mmd
9、(B,M)=BQ=2k+3:若《=1则BP=BQ,在PQ间任意一点都取到最小值.2.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=x}-x2+y}-y2为两点P(K，X)，。(兀2,%)之间的“折线距离则坐标原点O与直线2x+y-2血=0上一点的“折线距离”的最小值是:圆x2+/=l±一点与直线2x+y-2厉=0上一点的“折线距离”的最小值是.【解析】石，』L2第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线2尤+$—2厉=0与兀轴、y轴分别交于点M、N:则M(怎0),N(0,2同;当点Q在MN的延长线上时，d(O,Q)Pd(O,N);当点Q在NM的延长
10、线上时，d(O,Q)Nd(O,M);当点Q在MN之间时,d(O,Q)$d(O,M),mind(O,Q)=d(O,M)=4^,当Q点与M点重合时取到等号.第二问，类似第一问可知，当£在单位圆上固定一点时，对于直线MW上任一点Q,当且仅当P}Q,//x轴时〃(片,Q)=£Q取最小；为了求水平距离AQ的最小值，如图所示，过人作x轴的平行线交直线MTV于Q,过片作直线MN的垂线垂足为H}为定值，为直线M/V的倾角的正弦:过0点作直线MN的垂线，交单位圆于垂足为则当且仅当A与P重合时，人厲取到最小值FH;此时过P作x轴的平行线交直线MN于Q,则片Q也取到最小值PQ;2fs
11、PH=,PQ=VOH=^=2,0P=,V5AminJ(^,Q)=P0=—,当片,Q分别与P,Q重合时取到等号.23在平面直角坐标系中，定义〃(只0=忖-兀2
12、+卜1-兀
13、为两点尸3」)，0(兀2，力)之间的“折线距离在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M(_l,0),N(l,0)两点的“折线距离"之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M(-l,0),N(l,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)
14、【解析】①③④.①设点的坐标为(x,y),根据定义有卜
15、+卜
16、=1,这是4条线段围成的正方形，如上图所示.②自然错误.更一般地，易见到点P的“折线距离"等于a的点的集合同样也是以P为中心半对角线长为a的斜45。正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(x,y),根据定义有卜+1
17、+卜一1
18、+2卜
19、=4,整理得卜
20、=2_卜+卄+卜,画2出其图像是上图所示的六边形，面积为6.更一般地不难证明：若M,N纵坐标相同,MN=2cf则到M,N两点的“折线距离”和为2a(a>c)的点的集合也是类似的对称六边形，以MN为对称轴，以MN中点为对称中心，长为2a,高为2(
21、a-c),水平边长为2c,面积S=2(a2-c2),这是欧氏距离下椭圆的近似；若M,N横纵坐标均不同时情况将异常复杂.④设点的坐标为(x,y),根据定义有
22、
23、x+l
24、-
25、x-l
26、
27、=l,解得兀=±丄，这是两条竖直直线，如上图所示.更一般地不难证明：若M,N纵坐标相同，
28、MN=2c,则到两点的“折线距离''差的绝对值为2a(a0,对任意xgR,有
29、/(x)
30、
31、.r
32、,则称/(x)为F函数.
33、给出下列函数:①/(%)
