高考数学创新题小题汇编答案.pdf

《高考数学创新题小题汇编答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高考数学创新题小题汇编1.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义Px,y、Qx,y两点之间的“直角距离”为1122d(P,Q)xxyy．若点A-1,3，则d(A,O)=；已知点B1,0，点M是直线1212kxyk30(k0)上的动点，d(B,M)的最小值为．32(k≥1)【解析】4；k．yN22k3(0k1)M2先把直线方程改写成：y3k(x1)，则直线是过定点QC(1,3)且斜率为正的直线．设直线与x轴交于点P，与x1交C于点Q，则PBQ构成直角三角形．如右图所示．M3N1先考虑k1的情形：此时若M

2、介于PQ间例如点M，我们有：P3OBxN3d(B,M)BNNMBNNPBP，也就是M处在333333M1PQ间时d(B,M)在P点取最小值；若M在QP延长线上例如点M：d(B,M)BNNMBP，所以此时d(B,M)在P点11111取最小值；若M在PQ延长线上例如点M：d(B,M)BNNMBQ，所以此时222223d(B,M)在Q点取最小值；又由于k1时BQBP，所以综合知mind(B,M)BP2；k类似地可以知道：若k1，则M分别在QP延长线上、PQ间、PQ延长线上时，d(B,M)分别在P点，Q点，Q点取最小值，又此时BPBQ，故mi

3、nd(B,M)BQ2k3；若k1则BPBQ，d(B,M)在PQ间任意一点都取到最小值．2.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)xxyy为两点1212yP(x,y)，Q(x,y)之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线1122N222xy250上一点的“折线距离”的最小值是；圆xy1上一点与直线2xy250上一点的“折线距离”的最小值H2是．Q25P2HQ【解析】5，．PM2H1Ox第一问，可直接利用折线距离的几何定义：P1Q1设直线2xy250与x轴、y轴分别交于点M、N：则M5,0，N0,25；当点Q在MN的延长线上时，d

4、(O,Q)≥d(O,N)；当点Q在NM的延长线上时，d(O,Q)≥d(O,M)；当点Q在MN之间时，d(O,Q)≥d(O,M)，mind(O,Q)d(O,M)5，当Q点与M点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当P在单位圆上固定一点时，对于直线MN上任一点Q，当且仅11当PQ∥x轴时d(P,Q)PQ取最小；111111为了求水平距离PQ的最小值，如图所示，过P作x轴的平行线交直线MN于Q，过P作直11111PH11线MN的垂线垂足为H；则为定值，为直线MN的倾角的正弦：1PQ115∴PQPH；求水平距离PQ的最小值即为求PH的最小值；111111112过O点

5、作直线MN的垂线，交单位圆于P，垂足为H，则当且仅当P与P重合时，PH取到111最小值PH；此时过P作x轴的平行线交直线MN于Q，则PQ也取到最小值PQ；112555∵OH2，OP1，∴PH1，PQPH，5225∴mind(P,Q)PQ，当P,Q分别与P,Q重合时取到等号．111123在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)xxyy为两点P(x,y)，Q(x,y)之间的“折线距12121122离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M(1,0),N(1

6、,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M(1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）【解析】①③④．yyyMN-1O1x-2-1O12x-1O1x①设点的坐标为(x,y)，根据定义有xy1，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P的“折线距离”等于a的点的集合同样也是以P为中心半对角线长为a的斜45正方形，这是欧氏距离下圆的近似；x1x1③设点的坐标为(x,y)，根据定义有x1x12y4，整理得y2，画2出

7、其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若M,N纵坐标相同，MN2c，则到M,N两点的“折线距离”和为2a(ac)的点的集合也是类似的对称六边形，以MN为对称22轴，以MN中点为对称中心，长为2a，高为2(ac)，水平边长为2c，面积S2(ac)，这是欧氏距离下椭圆的近似；若M,N横纵坐标均不同时情况将异常复杂．1④设点的坐标为(x,y)，根据定义有x1x11，解得x，这是两条竖直直线，如2上图所示．更一般地不难证明：若M,N纵坐标相同，MN2c，则到M,N两点的“折线距离”差的绝对值为2a(ac)