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时间:2019-10-20
《2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式教案(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1 两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算.(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式,培养学生的数学建模的核心素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值,提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1.两角差的余弦公式公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ适用条件公式中的角α,β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反思考:co
2、s(α-β)=cosα-cosβ成立吗?[提示] 不一定成立,这是对公式的误解.2.两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O,以Ox为始边作α,β,它们的终边与单位圆分别交A,B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∴·=cosαcosβ+sinαsinβ,设与的夹角为θ,则由数量积定义知·=
3、
4、
5、
6、cosθ=cosθ,∴cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.∵α=2kπ+β+θ(如图1)或α=2kπ+β-θ(k∈Z)(如图2),∴α-β=2kπ±θ(k∈Z),图1图2所以cos(α-β
7、)=cosθ,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.1.cos65°cos35°+sin65°sin35°等于( )A.cos100° B.sin100°C.D.C [原式=cos(65°-35°)=cos30°=.]2.cos(-15°)的值是( )A. B.C.D.D [cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=.]3.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=. [原式
8、=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-60°)=cos60°=.]4.已知α是锐角,sinα=,则cos=. [由条件可求的cosα=,∴cos=coscosα+sinsinα=×+×=.]给角求值问题【例1】 (1)cos的值为( )A. B.C.D.-(2)求下列各式的值:①cos75°cos15°-sin75°sin195°;②sin46°cos14°+sin44°cos76°;③cos15°+sin15°.(1)D [cos=cos=-cos=-cos=-coscos-sinsin=-×-×=-.
9、](2)[解] ①cos75°cos15°-sin75°sin195°=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=.②sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14°=cos(44°-14°)=cos30°=.③cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°si
10、n15°=cos(60°-15°)=cos45°=.1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点:(1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦.(2)把所得的积相加.化简下列各式:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin167°·sin223°+sin257°·sin313°.
11、[解] (1)原式=cos[(θ+21°)-(θ-24°)]=cos45°=.(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)=sin13°sin43°+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.给值(式)求值问题[探究问题]1.若已知α+β和β的三角函数值,如何求cosα的值?提示:cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sin
12、β.2.利用α-(α-β)=β可得cosβ等于什么?提示:cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β).【例2】 (1)已知sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)=( )A.-B.-C.D.(2)已知sin=,α∈,求cosα的值.
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