2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教案（含解析）新人教B版

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1、2.3.3　向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标核心素养1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2．能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示(1)向量内积的坐标运算：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.2．向量

2、的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a＝(a1，a2)，则

3、a

4、＝.(2)两点间的距离：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、

6、＝.(3)两向量的夹角：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝.思考：与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示？[提示]　由于单位向量a0＝，且

7、a

8、＝，所以a0＝＝(a1，a2)＝，此为与向量a＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　)A．5B．4　　　　C．－2　　　　D．－1D　[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(

9、－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－　[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，

10、a

11、＝＝2，

12、b

13、＝＝10.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.]3．已知a＝(3，x)，

14、a

15、＝5，则x＝________.±4　[

16、a

17、＝＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]平面向量数量积的坐标运算【例1】　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于(　　)A．　　B．－C．D．－(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，则

18、a·b＝________，a·(a－b)＝________.(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.[思路探究]　根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D　(2)1　4　(3)　[(1)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－.(2)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·

19、(－4,0)＝4.(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以解得所以c＝.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：

20、a

21、2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝

22、a

23、2－

24、b

25、2；(a＋b)2＝

26、a

27、2＋2a·b＋

28、b

29、2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15,12)B．0C．

30、－3D．－11C　[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]向量的模的问题【例2】　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则

31、2a－b

32、等于(　　)A．4B．5C．3D．4(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则

33、a＋b

34、＝________，

35、a－b

36、＝________.[思路探究]　(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则

37、a

38、＝.(1)D　(2)2　4

39、　[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴

40、2a－b

41、＝4.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此

42、a＋b

43、＝2，

44、a－b

45、＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用

46、a

47、2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则

48、a

49、＝.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则

50、a＋b

51、的取值范围为________．[，＋∞)　[∵a＋b＝(x，x＋2)，∴

52、a＋b

53、＝＝＝≥，∴

54、a＋b

55、∈[，

56、＋∞)．]向量的夹角与垂直问题[探究问