高中数学 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课后导练 新人教b版必修4

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1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课后导练基础达标1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵a·b=5,

2、a

3、=,

4、b

5、=,cosθ=,∴θ=.答案:B2.设m、n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m⊥n等价的个数有()①m·n=0②x1x2=-y1y2③

6、m+n

7、=

8、m-n

9、④

10、m+n

11、=A.1B.2C.3D.4解析:对③④两边平方,化简得m·n=0m⊥n.答案:D3.已知点A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形ABCD为()A.

12、正方形B.菱形C.梯形D.矩形解析:可以用坐标验证=且⊥,故ABCD为矩形.答案:D4.已知a=(2m-1,3-m),若

13、a

14、≤,则m的取值范围为()A.[0,2]B.[0,4]C.(0,2]D.(0,4]解析:

15、a

16、2=(2m-1)2+(3-m)2≤10m∈[0,2].答案:A5.(2006江苏南京高三一模,3)若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量,则直线x+2y+3=0的一个法向量为()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,1)D.(2,-1)解析:可以确定已知直线的斜率k=-,∴直线的方向向量a=(1,-).由a·n=0,可知应

17、选A.答案:A6.已知平面上直线l的方向向量e=(),点O(0,0)和A(1,-2)在l上的投影分别是O′和A′,则=λe,其中λ等于()A.B.C.2D.-2解析:令e的起点是原点,与e方向相反,排除A、C,设e与夹角为θ.∵=(1,-2),则

18、

19、=,∴cosθ=.∴在e上的射影

20、

21、·cosθ==-2.∴λ=-2.答案:D7.已知向量a=(1,1),b=(2,-3).若ka-2b与a垂直,则k=___________.解析:∵ka-2b=(k-4,k+6),又(ka-2b)·a=0,∴(k-4)·1+(k+6)·1=0.∴k=-1.答案:-18.

22、已知点A(1,-2),若与a=(2,3)同向,

23、

24、=,则点B的坐标为_______.解析:设A(xa,ya),B(xb,yb).∵与a同向,∴可设=λa=(2λ,3λ)(λ>0).∵

25、

26、=.∴λ=2.则=(xb-xa,yb-ya)=(4,6).∴B(5,4).答案:(5,4)综合运用9.以原点O和点A(5,2)为两顶点作等腰直角△ABO,B为直角顶点,试求的坐标.解:设B(x,y),则=(x,y),AB=(x-5,y-2).∵△ABO是等腰直角三角形,故⊥,且

27、

28、=

29、

30、,∴,解得.∴=(,)或=(,-).10.已知a=(,-1),b=(,)且存在k

31、,t∈R,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y.试求的最小值.解:由题意有

32、a

33、=2,

34、b

35、=1,∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b.又∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.化简得k=.∴=(t2+4t-3)=(t+2)2.当t=-2时,有最小值为.11.已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量法求两直角边中线所成钝角的余弦值.思路分析:本题考虑用向量的几何法不易入手,故考虑用向量的坐标法,将直角三角形放到直角坐标系中,写出点的坐标,然后利用向量的坐标运算求解.解:建立如图所示的坐标系,则A(4,0),B

36、(0,6),E(2,0),F(0,3).所以=(-4,3),=(2,-6).所以·=-26,

37、

38、=5,

39、

40、=.所以cos∠AO′B=.所以两中线所成钝角的余弦值为.拓展探究12.讨论研究:以坐标原点O和A(4,2)为2个顶点,作等腰直角三角形ABO,∠B=90°,求点B的坐标和AB的长.解:设B(x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2).∵∠B=90°,∴⊥.∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y.①设中点为C,则C(2,1),=(2,1),=(x-2,y-1).∵△AOB为等腰直角三角形,∴⊥.∴2(x-2)+(y-1)

41、=0,即2x+y=5.②由①②得∴B(1,3)或(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).∴

42、AB

43、=

44、

45、=.

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