1二面角问题中的几类常见错误剖析

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1、二面角问题中的几类常见错误剖析洪秀满【原文出处】《中学数学》（江苏），1994.9.（36-38）【作者简介】洪秀满，浙江省仙居中学（317000）二而角及其平面角是立体儿何的重要内容Z—。由于题目涉及的范围广、变化多、难度大，是教学屮的一个难点。针对学生学习和解题屮的一些常见错谋，本文拟就以下几个方面举例剖析。一、忽视二面角的范围致误课本小没有给出二面角的取值范围。教师应根据二面角的定义，指出二面角的取值范围是［0,龙］。忽视二血角的取值范围致谋，不但学生的作业里屡见不鲜，而且在书刊中也常有所见。例1在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的

2、2倍，求二面角的度数？（课本（必修）P43习题六笫2题）。对此题，《人教版》90年岀版93年第8次印刷的《教学参考卩》P51给出了如下提示和答案。提示：先证明ZABC为二面用的a-DE-f3的平血角,然后从RtABC屮解出ZABC=30°,得二而角a-DE-0是30°。剖析：此提示和答案是不全面的，忽视了二面角的范围。根据题意，二而角a-DE-0可能是锐角，也可能是钝角。上述的提示只考虑了锐角的情形，以致造成漏解。正确解法：（1）当a-DE-p是锐介时，如图1,过平图1面a内点4作AC丄0,垂足为C,作4B丄DE于B,连BC,则DE丄BC。・•・ZABC是二面角a

3、-DE-p的平面角，在RfAACB中，VAB=2AC,sinZABC=-,即ZABC=30°o2故二面角oc—DE—0是30°o（2）当a-DE-0是钝和时，如图2,过人作AC垂肓于二血角的面0的反向延展面，垂足为C,作CF丄DE交DE于B,连则DE丄A3。AZABF是二面角a-DE-0的平而角，在RtACB中，VAB=2AC,AZABC=30°,即ZABF=150°,故二面jha-DE-0是150°。二、以偏概全致误例2在二面角内一点分别向两个面内引垂线，求证它们所成的角与二面角的平面角互补（课本（必修）P43习题六第5题）。对此题，《人教版》（同上）出版的《教

4、学参考书》P51给出了如下的证明。己知：从二面角a-AB-0内一点P,向面a和0分别引垂线FC和PD,它们的垂足是C和（如图3）求证：ZCPD和二面角a-AB-0的平面角互补。证明：设过PC和PD的平面PCD与棱A3交于£,•:PC丄a,PQ丄0,・・・PC丄AB,PD丄AB；・・・平面PCD丄AB,ACE丄AB,DE丄AB。乂TCEua,DEu/3；:.ZCED是二面角a-AB-0的平面角。在四边形PCED内，ZC=90°,ZD=90°,所以ZCPD和二而角a-AB-0的平而角ZCED互补。剖析：上述的证明是不合理的，犯了以偏概全的错误。依题设，P点在面&、0上的

5、射影C、Q有如下三种情况：第一，C、D均不在棱AB上：第二，C、Q中有且仅有一个在棱AB±；第三，C、D都在棱AB±；以上的解答只证明了第一-种情况下的命题成立。证明的论据是用了P、C、E、Q四点构成四边形，但此论据不全适用于第二、三种情况，故作为完整的证切，还必须补上后而的两种情况。正确证明：（1）当C、D均不在棱AB±,由上述的证明可知命题成立。（2）当C、D中有且仅有一个在棱AB上，不妨设D在棱AB上，而C不在棱AB上，如图4；此时，二面角0的平而角只可能是钝角（否则将与P在二面角内或C不在棱AB上才盾）。设过PC和PD的平面交a于CD,交0于DF,:.PC丄

6、PD丄AB,・•・AB丄平面PCF。AAB1DC,43丄DF。即ZCDF是二而角a-AB-ff的平而角。TPD丄0,・・・ZPDF=90°,上CDF=90°+"DC。在RtPCD中，ZCPD=90°-ZPDC,ZCDF+ZCPD=180°,即ZCPD和二面角a-AB-/3的平面角ZCDF互补。（3）当C、D均在棱AB上时，VPC丄AB,PD丄AB,CeAB,DwAB；:.PC与PD重合，即ZCPD=0°；乂VPC丄a,PD10；・・・二面角a-AB—0的平面角为180°；故ZCPD和二面角a-AB-0的平面角互补，综上所述：命题成立。三、忽视二面角内一点在一个面上

7、的射影位置致误二面角a-AB-0内一点，在平而Q（或0）上的射影位置可能在半平而Q（或0）11,也可能在半Q（或0）的反向延展面上。如果忽视这一点，常会使问题产生错解。例3如图5,a-EF-0是120°的二而角,从其内一点P,分别向平而作垂线阳、pg,若=PB=1,求P点到棱EF的距离。（摘自某《测试题集》，书中给出了如下解答）。解：如图6,过PA、作平面交EF于C,分别交平面Q、0于AC.BC°9：PA丄q,PB丄0,・•・PA丄EF,PB丄EF；:.EF丄平面PAC3,即EF丄AC,EF丄BC,则乙4CB就是二面角a-EF-p的平而角，即Z/1CB=120°