第06讲归纳 推理

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1、思维力第6讲归纳推理应知：归纳推理的过程正好与演绎推理相反，归纳推理有完全归纳推理与不完全归纳推理之分。应会：运用归纳推理。归纳推理的过程正好与演绎推理相反，是从特殊命题推出一般命题。归纳推理有完全归纳推理与不完全归纳推理之分。不完全归纳推理作为逻辑推理是不严密的，因此在证明命题时并不使用。它是人们发现规律、产生猜想的一种方法，著名的歌德巴赫猜想就是由不完全归纳推理得到的。归纳推理共有五种形式：求同法、求异法、求同求异法、剩余法、共变法。1．求同法在不同的场合考察到相同的现象，那么各场合相同的条件可能就是引起这个现象

2、的原因。例.某县农民纷纷出外求仙拜佛，影响生产。不久邻县几个地区也发生类似情况。经调查发现，在这些地方，总有一个六十多岁的老太婆出现，据此推断，这个老太婆很可能就是迷信的根源。后经查实，果真如此。例.（初一）请你观察下面的算式，然后不用计算，把空填好。1×99=992×99=1983×99=2974×99=3965×99=6×99=7×99=8×99=9×99=分析：上述的积具有这样的规律，个位数从上往下，依次递减1；十位数都是9；百位数从上往下，依次递增1。点评：这是利用不完全归纳推理得出的结论，不一定正确。还需要

3、验算。例.（高二）求和S=1•1!+2•2!+3•3!+……+n•n!分析：S=11!=1S=52!+2S=233!=6S=1194!=24S=7195!=1206!=720从上述S到S的结果中发现，规律为S=(n+1)!-1，这很可能就是所求之和。例.（高三）平面上的两条直线，最多只有一个交点，互相分成四段，把整个平面分割成4块。3条直线、4条直线……n条直线呢？分析：为了寻找规律，我们把1-4条直线的情况列成下表：思维力直线条数1234增加交点数123交点总数011+2=33+3=6分成段数14916增加块数23

4、4总块数243+4=77+4=11比如从3根增加到4根，由于增加的1根与其他3根最多可以有3个交点，即增加（4-1）个交点，由此交点总数为3+3=6个。由于3个交点分直线为4段，因此4根直线被分成的总段数就为4×4=16段。由此，划分的平面块数也增加了4块，总块数为7+4=11。这样，我们就不必画出图形，依此类推出n条直线时，最多交点数为：1+2+3+……+（n-2）+（n-1）=互相分成的段数为：n。平面被分成块数为：2+2+3+……+（n-1）+n=1+，点评：这是利用不完全归纳推理得出的结论，不一定正确。还需要

5、证明。备用例.歌德巴赫猜想1742年，德国数学家歌德巴赫发现下面的事实：4=1+36=3+38=3+510=5+512=5+7……上面这些式子的左边都是偶数，右边都是两个素数的和。于是他提出一个猜想“任何一个大于2的偶数，均是两个素数之和。”这一猜想至今还没有完全证明，目前做得最好的是我国的数学家陈景润。2．求异法某种现象在第一个场合出现，在第二个场合不出现，那么两个场合不相同的条件可能就是引起这个现象的原因。例.有这么一个传说，很久以前，有一个音乐家，他想创作一部《森林交响乐》。于是在九月的一个晴朗的早晨，他去到原

6、始森林，看到一位美丽异常的少女正对着溪水唱歌，这首歌的旋律正适合音乐家的需要，于是他想请少女再唱一遍，可是少女却说：“我是魔王的奴隶，魔王规定我六十年只能唱一首歌。”音乐家苦苦哀求，少女被他的精神感动，便说：“你后面有五朵花，其中一朵就是我，另外四朵是昨晚就在那里守夜的魔鬼。如果你能采到我，你的愿望不但能实现，而且我还能成为你的终身伴侣。如果你采错了，你就会变成魔王的奴隶。”少女说完之后便化作一屡青烟飘走了。音乐家一转身，果然见到有五朵非常漂亮的花，他观察了一阵，然后脸上泛起了自信的笑容，采了其中的一朵，这朵花在他的

7、手上慢慢地化作一屡青烟，落在地上，美丽的少女从中走出来，挽起他的胳膊，两人高高兴兴地回家去了。问音乐家是怎么做出判断的？答案：九月的夜晚，如果天气晴朗，到第二天早上，地上的花草都会粘满露水，守夜的魔鬼身上也必然会有露水。所以他就采了那朵没有露水的花。3．求同求异法思维力把凡是出现某现象的事例归成一组，把凡是不出现某现象的事例归成另一组，然后把二者进行对比。如果前者都有某一条件，而后者都没有这个条件，则此条件就是造成这个现象的原因。例.某单位发现半年内有四次重要会议的内容被泄漏，于是把这半年内参加七次会议的人员名单都列

8、出来，发现泄密的这四次会议都有某甲参加，而未泄密的那三次会议都没有某甲参加，所以某甲很可能就是泄密者。4．剩余法如果已知某现象的一部分是某些条件的结果，那么剩余条件就可能是产生另一部分现象的原因。例.几十年前，人们开始向电离层发射电磁波，通过对电离层回波的分析，来研究电离层对电磁波的影响。后来人们常常发现，回波有时候会无缘无故地增强许多，于是有