matlab程序语言设计第5章

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1、第五章MATLAB基本应用领域5.1线性代数5.2多项式与内插5.3数据分析与统计5.4泛函分析5.5常微分方程求解5.6线性代数函数5.7多项式和内插函数5.8数据分析与傅里叶变换函数5.9泛函——非线性数值方法函数习题5.1线性代数5.1.1MATLAB中的矩阵一般来说，矩阵和阵列经常互相交替使用，MATLAB还允许使用多维阵列，因此我们严格定义矩阵为二维实或复阵列，它表示一线性变换。定义在矩阵之上的线性代数已在许多技术领域得到应用，因此我们将详细介绍MATLAB中的矩阵。矩阵的加、减、乘、除、转置运算是最基本的运算，它们应符合维数一致的要求，但标量可看作是任意维

2、数的矩阵，例如设S为标量，则下列运算都是合法的：A+SA*S矩阵的数组运算是元素对元素的运算，例如：a=[123;456;789];b=[111;333;999];c=a.*bc=1231215186372815.1.2矢量范数和矩阵范数矢量x的p范数定义为当p=2时为常用的欧拉范数，一般p还可以取1和∞。这在MATLAB中可利用norm(x，p)函数实现，p缺省时为p=2。例如：v=[20-1];n=[norm(v,1),norm(v),norm(v,inf)]n=3.00002.23612.0000矩阵A的p范数定义为一般p取1，2和∞。这也可由MATLAB的no

3、rm(A，p)函数计算，缺省时p=2。例如：>>A=fix(10*rand(3,2))A=942867>>N=[norm(A,1)norm(A)norm(A,inf)]N=19.000014.801513.00005.1.3线性代数方程求解一般线性方程可表示成AX=BXA=B在MATLAB中，当矩阵A为方阵时，可很容易求出它的解：X=AB或X=B/A。当矩阵A为非奇异时，线性方程的解惟一；当矩阵A为奇异时，线性方程的解要么不存在，要么不惟一。当矩阵A为(m×n)维矩阵，且m>n时，在方程AX=B中，方程个数多于变量个数，因此应采用最小二乘法来求解。例如，对一组测量数

4、据t=[0.3.81.11.62.3]';y=[.82.72.63.60.55.50]';我们拟用延迟指数函数来拟合这组数据：y(t)≈c1+c2e–t将测量数据代入后得到6个方程，而未知变量仅有c1、c2两个，因此应利用最小二乘原理来求解，并以图形形式给出拟合结果。程序如下：t=[0.3.81.11.62.3]';y=[.82.72.63.60.55.50]';A=[ones(size(t))exp(-t)];C=AyT=[0:.1:2.5]';Y=[ones(size(T))exp(-T)]*C;plot(T,Y,'-',t,y,'o')title('最小二乘法

5、曲线拟合')xlabel('itt'),ylabel('ity')图5.1曲线拟合5.1.4矩阵求逆det(A)函数可求得矩阵A的行列式值。inv(A)函数可求得矩阵A的逆矩阵。从理论上说，当A为方阵且非奇异时，X=inv(A)*B等同于X=AB，但后者计算所需的时间更短、内存更少、误差检测特性更佳。pinv(A)用于计算非方阵的伪逆，例如：>>c=[94;28;67];x=pinv(c)x=0.1159-0.07290.0171-0.05340.11520.0418则可使x*c为单位阵，即>>q=x*cq=1.00000.00000.00001.0000但应注

6、意c*x并非单位阵，即>>p=c*xp=0.8293-0.19580.3213-0.19580.77540.36850.32130.36850.39525.1.5LU、QR分解通过高斯对消或LU分解法，可将任意方阵表示成一个下三角阵与一个上三角阵的乘积：A=LU，例如：>>A=[123;456;426];[L,U]=lu(A)L=0.2500-0.25001.00001.0000 0 01.00001.00000U=4.00005.00006.00000-3.000000 01.5000通过LU分解后，可很容易得到det(A)=det(L)×det(U)inv(A)=

7、inv(U)×inv(L)求解线性方程Ax=b时，可得到x=U(Lb)这种方法的运算速度更快。正交矩阵或具有正交列的矩阵，其所有列的长度为1，且与其它列正交。即如果Q为正交矩阵，则有Q'Q=I通过正交或QR分解，可将任意二维矩阵分解成一个正交阵和一个上三角阵的乘积：A=QR，例如：>>A=[94;28;67];[QR]=qr(A)Q=-0.81820.3999-0.4131-0.1818-0.8616-0.4739-0.5455-0.31260.7777R=-11.0000-8.54550-7.4817005.1.6矩阵求幂和矩阵指数矩阵求幂如A