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1、利用导数证明不等式知识梳理1、儿种常见函数的导数原函数导数y=C（C为常数）y=0y=xn(neQ)y'=nxn~[j=sinx■y=cosxy=cosxty=-sinxy=exy=exy=lnx.1y=-Xy=aa>0,且aHl)y=axay-log“x(a>0且g丰1).1y二ixa2、函数的单调性在某个区间（a,b）内如來广（兀）〉0,那么函数y=/（兀）在这个区间内单调递增;如果/*（x）＜0,那么函数y=/（x）在这个区间内单调递减。3、函数的极值（1）设函数），=/&）在点X。附近有定义，如果对兀。附近的所有点，都有.f（0v/&o）则/（兀°）是函数y=/（
2、兀）的一个极人值，记作y极人值=/（x0）；如果对附近的所有点，都冇/（兀）＞/（无））‘则/（勺）是函数＞,=/（x）的一个极小值’记作y极小值=/（x0）o极大值与极小值统称为极值。（2）判断/（勺）是极值的方法一般地，当两数/(x)在兀=兀()处连续吋，(a)如果在兀。附近的左侧/(x)>0,右侧/(%)<0,那么/(x0)是极人值；(b)如果在兀°附近的左侧f(QvO,右侧f(兀)>0,那么/(兀°)是极小值。(3)两数y=/(%)在一•点的导数为0是函数/(兀)在这取极值的必要非充分条件。4、函数的最值(1)在闭区间［a,b］±连续的函数/(兀)在［a,b］上必有最大值与
3、最小值；(2)设函数/(兀)在［比b］上连续,在(a,b)内可导,先求/(兀)在(a,b)内的极值;将/(兀)的各极值与/@)、/(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例题精讲例1、(2013年课标全国II第21题)已知函数/(x)=(?v-ln(x+m)0(1)设兀=0是/(兀)的极值点，求加，并讨论/&)的单调性；(2)当m<2时，证明/(%)>0o分析：(1)根据函数在某点取到极值，得出该函数在该点的导数为0,再利用函数的导数在该函数的定义域内与0比较大小，再求出该函数在其定义域内的单调性。(2)构造函数0(x),转化证明0(x)>0,再求函数°(x)的单调
4、区间，判断区间端点处的函数值与0的关系，最后判断定义域内0(兀)与0的大小关系。证明：⑴fx)=ex—-・x--m由X=o是/(兀)的极值点得f(0)=0,所以772=1.于是f(x)=ex-ln(x+w),定义域(一1,+8),fx)=ex.兀+1函数fx)=ex一一—在(-1,+-)上单调递增，rtf(0)=0,x+1因此当xe(-1,0)时，f(x)vO,当xw(0,+g)II寸，f(x)>0.所以/(兀)在(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.(2)当m<2,xg(-m,4-oo)时，ln(x+m)0.当m
5、=2时，函数/(x)=ex!一在(-2,+x)上单调递增.兀+2又当/(-1)<0,/(0)>0,故/(0)=0在(-2,4-00)有唯一实数根如，且x0G(-1,0).当兀w（-2,兀0）时,/（x）＜0；当xw（%0，+8）时，/（x）＞0,从而当兀=兀0时,.f（x）取得最小值.由/(x0)=0得戶=1勺+2In（兀。+2）=-兀°,故/(恥/(4*+“黑>0.综上，当m<2吋，f(x)>0.，点评:本题考查的重点是利用导数证明不等式的思想，即构造一个新的函数，将原题要证的转化证这个新函数在其定义域里与0的大小关系即。JX-1练习1(2014年课标I第21题)设函数f{x)=
6、aexx+,
7、11
8、线y=/(x)在点x(1,/(1))处的切线方程为y=幺(兀_1)+2.(1)求a,b;(2)证明：f(x)>1分析：（1）山在点（1,/（1））处的切线方程，可知在该点函数/⑴的导数值为e且该点在切线方程上。注意该函数的定义域。（2）由（1）nJ函数化成没冇参数的方程，可构造两个函数，转化比较这两个函数的最大值与最小值即可。解(1)：函数于(兀)的定义域为(0,+oo),/(x)=aex-^-ex-^ex'[+-.xX由题意可得，/(1)=2,/(l)=e.故a=l,b=2.QA*—1。(2)证明：由(1)知,f(x)=exln%+—一，从而/(%)>1等
9、价于xx>xe~x——.xe设函数g(x)=xx,贝ijg(x)=1+lnx.It1t所以当xg0,—时，g(x)vO；当兀g-，+oo时，g(x)>0.I幺丿d丿(\(\故g(兀)在0，一上单调递减，在—，+oo上单调递增，从而g(x)在(0,+oo)上的最小值为IW丿锐丿⑴1g一=一一•e)e2,设函数h{x)=xe~x——，则h(x)=e~x(1-x).e所以当兀w(0,1)时/?(兀)>0；当兀w(l,+8)时，/z(x)<0.故在(0,1)上单
