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1、数的整除（一）内容提要：如果整数A除以整数B（BHO）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除0能被所有非零的梏数整除.些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除（如771,54324）11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除（如143,1859,1287,908270等）7,11,13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和耳偶数段的各数和和减，其差能被7或11或13整除.（如1001,22743,1756
2、7,21281等）能被7整除的数的特征:①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。女U1001100-2=98（能被7整除）乂如7007700-14=686,68-12=56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除女口1001100-1=99（能11整除）乂如102851028-5=1023102—3=99（能11整除）例1己知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，V5yl能被9整除，・・.y=6.・.*328+2x9=567,Ax=3
3、例2己知五位数1234兀能被12整除，求X解：・・•五位数能被12整除，必然同吋能被3和4整除,当1+2+3+4+X能被3整除时，x=2,5,8当末两位4X能被4整除时，X=0,4,8・・・X=8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234,但（1+2+4）-（0+3）=4,不能被11整除，只调整末位数仍不行调梏末两位数为30,41,52,63,均可，・・・五位数字都不相同的最小五位数是10263o练习1.分解质因数：（写成质因数为底的幕的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤1010
4、1@102963.若五位数12X34能被11整除，那么X=4.当m=时，35m5能被25整除5.当n=时，9610n能被7整除6.能被11整除的最小五位数是，最大五位数是7.能被4整除的最大四位数是,能被8整除的最小四位数是8.8个数：①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6,8,9,119.从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共个，能被3整除但不是5的倍数的共个。10.
5、l]L2,3,4,5这五个口然数，任意调换位置
6、何组成的五位数
7、中，不能被3整除的数共有儿个？为什么？11.C知五位数1234A能被15整除，试求A的值。12.求能被9整除口各位数字都不相同的最小五位数。13.在十进制屮，各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是（1989年全国初中联赛题）倍数约数内容提要1•两个整数A和B(BHO),如果B能整除A(记作BIA),那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3I15,15是3的倍数，3是15的约数。2.因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3.整数A(AHO)的
8、倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0,±A,±2A,……都是A的倍数，例如5的倍数有±5,±10,……o4.整数A(AHO)的约数是有限个的，并口也是以互为相反数成对出现的，其中必包括土1和±人。例如6的约数是±1,±2,±3,±6o5.通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，儿正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6.公约数只有1的两个止整数叫做互质数(例如15与28互质)。7.在有余数的除法中，被除数=除数X商数+余数若用字母表示可记作：A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数fl.BH0时，，A-R能被B整除例如23=3X7+2
9、则23-2能被3整除。例题例1写出下列各止整数的止约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2X3,22X3,22X32。解：列表如下b■—正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21,2231,322X31,2,3,64221,2,43321,3,32322X31,2,3,4,6,126231,2,4,84331,3,32,33422X321,2,3,4,6,9,12,18,369241,2,4,8,165341,3,32,33,345其规律是：设A=ambn(a,b是质数,m,
10、n是止整数)那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360=23X32X5,360的正约数的个数是(3+1)X(2+1)X(1+1)
