浅谈鸡兔同笼问题解题思路

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1、前面和大家探讨了一下盈亏问题的解题思路，很多家长给予了我很大的支持和鼓励，并且希望我再就鸡兔同笼问题继续探讨一下。既蒙各位抬爱，虽是瞽言苗议，也惟有敬陈管见了。（如孩子不明白这些成语，让孩子查查成语字典吧，算是语文作业）鸡兔同笼问题的解法冇很多，粗略搜索下就冇列表法、画图法、假设法、抬腿法、方程法……等等不一而足。其屮，列表法、画图法比较直观，但对稍微复杂点的题目就捉襟见肘了；抬腿法比较有趣，但适用性有些局限；方程法当然强大无比，但咱孩子学得是奥数啊……所以，述是着重探讨下假设法吧：基本典型问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这是人约1

2、500年前，《孙子算经》记录的问题，也是鸡兔同笼问题的基本典型例题。鸡兔同笼的基本典型问题的解答思路并不复杂：一只鸡1个头2条腿，一只兔1个头4条腿。假设35个头全是鸡头，那么就应该冇2X35=70条腿。而题目中条件为94条腿。现在用一只兔换一只鸡，头数没有变化，腿数由2条鸡腿变成了4条兔腿，也就是增加了2条腿。再重申下，用一只兔换一只鸡，头数不变,腿数增加2条。为了满足题口屮94条腿的要求，需要增加94-70=24条腿，也就是要换244-2=12只兔。由此可得，鸡为35-12=23只。这就是鸡兔同笼的基木典型问题采用的“假设法”了。我觉得“假设法”称为“假设替

3、换法”或“替换法”可能才更准确些，因为准确把握替换的前提要求和实质涵义才是关键。我们再来分析一下基本典型例题，在这一类问题中，通常有两类物品（鸡和兔），分别都具有两项特征值（头数和腿数），其中一项特征值单位数量相同（鸡、兔头数量相同），另一项特征值单位数量不同（鸡、兔腿数量不同）。要认识到，只有其中有一•项单位特征值相同时，上述替换方法才有效。或者反过来说，仅当两类物体仅有一项单位特征值不同时，替换法才能根据假设及替换对该不同的单位特征值的变化情况，得到相应结果。止如典型例题中，因为鸡和兔的单位头数相同（都只有一个），只冇单位腿的数量不同，我们将鸡兔替换吋才不用

4、担心头的变化，而仅关注于腿的变化。另外，要让孩子清楚知道,替换法要关注的是替换所产生的单位差值。就像基本题型中的24-2中的“2”不是鸡的腿数，而是兔腿和鸡腿的单位差值。例题1:蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。这三种小虫共18只，有"8条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？分析：本题屮冇三类物品（蜘蛛、蜻蜓和蝉），涉及冇三项特征值（头、腿和翅膀）。我们而面分析说两类物体有一项特征值不同时，替换才能达到效果。因此，这种题要先考虑将其按特征值归为两“类”。仔细观察就会发现蜻蜓和蝉的腿是一样的，我们可以将它们归为同一类。这样我们先关注头和腿，也

5、就是“8腿动物和6腿动物共18只，腿118条”，应用基本典型解答思路，容易求得8腿动物（蜘蛛）为5只，6腿动物为13只。现在我们知道蜻蜓和蝉共有13只。再來看翅膀，“蜻蜓（2翅）和蝉（1翅）共有13只，翅膀共20对”。这当然也是个基本典型问题了。具体解法就不详述To例题2:传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头261个，鸟尾有269条。问九头鸟，九尾鸟各多少只？分析：我们尝试就会发现，因为九头鸟和九尾鸟的头和尾都不相同，直接替换就会出现“按下葫芦浮起瓢”的情况，是无法直接用替换法解答的。记住我们上面

6、分析的，两类物体仅有一项特征值不同时，假设替换才有效。我们就要考虑将其中的某一项转化为相同的情况。于是，我们可以考虑将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。这时，才可以釆用替换法将九头鸟和“九头八十一尾”的新怪物进行替换。先假设全是九头鸟，那么就有261一9=29只。这种情况下，尾有29条，可实际有269条。一只九尾鸟换一“捆”“九头八十一尾”的新怪物，头不变，尾会增加80条。我们需要增加269-29=240条尾，于是需要换2404-80=3捆。别忘了再将捆绑的新怪物还原为九尾鸟。3捆九尾鸟也就是3X9=27只九尾鸟。29-3=26只九

7、头鸟。例题3:传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头268个，鸟尾有332条。问九头鸟，九尾鸟各多少只？分析：乍一看，一定以为我肯定是又复制、粘贴了一•下。不就和上题一样吗？好吧，我们还是来做做看。同样的，我们将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。假设全是九头鸟，就会有268—9=29...7居然有余数！这可怎么办？别着急，先仔细想想这余数是怎么来的。这说明九尾鸟的数量不是9的倍数,也就是说，有7只九尾鸟凑不足9个捆在一起。那好，我们还是先将这7只九尾鸟先拿走，这样头剩下

8、268-7=261,尾剩