等差数列教案(1)

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1、等差数列教案（一）、观察以下数列，它们有什么共同点？1.共同特点：从第2项起每一项与它的前一项的差都是一个常数.依据以上几个例子的共同特征抽象出等差数列的概念，即为：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常常用字母d表示.■:⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；■⑵对于数列{},若－=d(d是与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差；■(3)若d=0,则该数列为常数列．2．等

2、差数列的通项公式的推导过程：(1)若已知等差数列的首项为，公差为d，寻求等差数列的通项公式：方法一：不完全归纳法由此归纳出：，当时n=1，（成立）方法二：累加法：等差数列的通项公式：(2)公式的推广：．（具体加以讲解并延伸）（3）等差数列通项公式的变式：；；；注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0).例题分析：怎么求等差数列的通项公式例：⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵401是不是等差数列5，9，13…的项？如果是

3、，是第几项？解：⑴由，n=20，得⑵由，得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。评析：只要已知等差数列的两个条件，就可求出等差数列的通项公式。例：在等差数列中，已知，，求【解法一】：∵，，则∴【解法二】：评析：等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式求等差数列通项公式的形式例.已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一

4、定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？解：当n≥2时,（取数列中的任意相邻两项与（n≥2））为常数∴{}是等差数列，首项，公差为p。评析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q(p、q是常数)。求等差数列的项例.在等

5、差数列{}中，若+=9,=7,求,.解：∵{an}是等差数列∴+=+=9=9－=9－7=2∴d=－=7－2=5∴=+(9－4)d=7+5*5=32∴ =2,=32评析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式。而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项。（二）等差数列的性质1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：(或=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d:①d=－②d=③d=4.设{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2005,则n

6、=()A.667B.668C.669D.6705.在3与27之间插入7个数,使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是()A.18B.9C.12D.15思考：如果在a与b的中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应该满足什么条件？分析：由a,A,b成等差数列得：反之，若，则即a,A,b成等差数列.成等差数列.等差数列的性质1．定义：如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项．思考：在等差数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,…中,a3是哪些项的等差中项,a5是哪些项的等差中项?2．公式：

7、在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap33．．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；且。是等差数列4．等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列；当d=0时，an+1=an即{an}为常数列；当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列.注：等差数列不会是摆动数列.例1.在等差数列{an}中(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6;

8、(3)若a5=6,a8=15,求a14;(4)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.3．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法:证明an-an-1=d(常数)例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.（2）中项法:利用中项公式,若2b=a+c,则a,b,c成等