2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编(数列)

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1、2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编9．数列一、选择题（2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏（2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84（2013·3）等比数列的前项和为，已知，，则（）A.B.C.D.（2012·5）已知{an}为

2、等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A.7B.5C.-5D.-7二、填空题（2017·15）等差数列的前项和为，，，则．（2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且，，则Sn=________________．（2013·16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.（2012·16）数列满足，则的前60项和为.三、解答题（2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.（Ⅰ）求b1

3、，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和.（2014·17）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.（Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：.（2011·17）等比数列的各项均为正数，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编9．数列（逐题解析版）一、选择题（2017·3）B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得.（2015·4）B【解析】：设等比数列公比为

4、q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选B.（2013·3）【答案：C】解析：由S3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9.∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=.（2012·5）．【答案：D】解析：，，或，成等比数列，.二、填空题（2017·15）【解析】∵，，∴，∵，∴∴，∵∴∴∴，∴（2015·16）【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的

5、等差数列，则，所以．（2013·16）-49【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0①，S15＝＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，，所以Sn.令f(n)＝nSn，则，.令f′(n)＝0，得n＝0或.当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝-48，f(7)＝-49，所以当n＝7时，f(n)取最小值-49.（2012·16）1830【解析】由得，由②①得，③由①得，.由③得，，所以.三、解答题（2016·17）.（满分12分）Sn为等差数列{an

6、}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和.（2016·17）解析：⑴设数列的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（2014·17）．解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，即：，又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴，∴故：（2011·17）解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以.由条件可知a>0，故.由得，所以.故数列

7、{an}的通项式为.（Ⅱ ），故，，所以数列的前n项和为.