[信号与系统作业解答]第二章

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1、第2章连续时间系统的时域分析2-1列写电路中电压vt()的微分方程表示。o（a）（图略）t(1)解答：符号说明i()tixdx()(1)(1)2()itit()i()ti()tet()(1)1112(1)(1)it()2()iti()ti()t0(2)2221vt()2()it(3)o2整理得：2()vt5()vt5()vt3()vt2()etoooo2-4已知系统相应的齐次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。2dd1）rt()2rt()2()rt0，给定r(0)1，r(0)22dtdt2dd2）rt()2rt()rt()0，给定r(0)1，r(0)22

2、dtdt解答：21）系统的特征方程为220，特征根为1jj,112因而零输入响应的形式trt()e(cosAtBsin)tt0，将r(0)1，r(0)2代入得：ziAB1,3，所以系统的零输入响应为：trt()e(cost3sin)tt0zi22）系统的特征方程为210，特征根为11,2因而零输入响应的形式ttrt()AeBte)t0，将r(0)1，r(0)2代入得：ziAB1,3，所以系统的零输入响应为：trt()e(3t1)t0zi2-5给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，判断在起始点是否发生跳变d1）rt()2()rtet()，r(0)1，et()ut()

3、，写出r(0)值。dtdd2）rt()2()rt3et()，r(0)0，et()ut()，写出r(0)值。dtdt【分析】用微分方程表示系统，如果方程右端的自由项包含冲激函数及其各阶导数，则系统从0-到0+状态发生变化。解答：（1）因为rt()2()rtut()，方程右端不包含冲激函数及其各阶导数，rt()在t0处连续，rr(0)(0)1（2）因为rt()2()rt3()t，假设rt()at()but()，则rt()aut()，代入方程，比较两端系数，可知a3。rt()在t0处跳变，rr(0)(0)332ddd2-6给定系统微分方程rt()3rt()2()rtet(

4、)3()et，若激励信号和起2dtdtdt始状态为以下情况：et()ut()，r(0)1，r(0)2。分别求系统的完全响应、指出零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。解答：1.求系统的零输入响应。由已知条件有：rt()3rt()2rt()0zizizirr(0)(0)2zizirr(0)(0)1zizi2特征方程为320，特征根为1和2。12tt2所以rt()CeCe,t0zi12将rr(0)(0)2和rr(0)(0)1代入可求得zizitt2rt()4e3e,t0zi2.求系统的零状态响应。由于et()1,t0，故设特解rtp()Ct,0，将rtp()

5、代入原微分方程得C3/2，从而rt()3/2。ptt2由第一步可知，齐次解rt()DeDe,t0h12tt2因此零状态响应rt()DeDe3/2,t0zs12接下来用冲激函数匹配法确定r(0)和r(0)。在0到0时刻zszs系统方程为：rt()3rt()2rt()()t3ut()„„（1）zszszs方程右端包含()t，所以设rt()at()but()zsrt()aut()zsr连续zs代入（1）式，平衡方程两边()t的系数，可得a1因而rzs(0)rzs(0)11,rzs(0)rzs(0)0将初始条件rrzs(0)1,zs(0)0代入得DD122,1/2tt132

6、所以系统的零状态响应为rt()2ee,t0zs223.根据前两步的求解可得，系统的全响应为tt532rt()rt()rt()2ee,t0zizs22tt523其中自由响应分量为2ee，强迫响应分量为。222-7电路如图所示，t0以前开关位于“1”，已进入稳态，t0时刻，S与S同时自12“1”转至“2”，求输出电压vt()的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各分o量。（图略）解答：换路前，系统已进入稳态，因此vE(0)o换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以v(0)v(0)Eoo（1）根据电路形式，t0后的电路方程dvt()vt()oo，其中et()Iu

7、t()Cet()sdtR（2）求解系统的完全响应。1t齐次解：v()tAeRC,t0oh特解：v()tRIopst完全响应为：vt()AeRCRIt,0os代入初始条件vE(0)可得：AERIost所以系统的完全响应为：vt()(ERIe)RCRIt,0oss（3）求零输入响应分量。由于零输入响应和系统方程的齐次解有相同的形式，所以设tv()tCeRC,t0ozi将初始状态vE(0)代入可得：CEot所以：v()tEeRC,t0ozi从而t零状态响应分量：v()tRIRIeRC,t0ozssst自由响应分量：(ERIe)RC,t0s强迫响应分量：RIt,0s2-