2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

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1、2019年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.已知实数集合{1,2,3,}x的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为．答案：-3．解：条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之

2、和为0．显然x<0，从而12++=x0，得x=-3．mmm+12.若平面向量a=-(2,1)与b=-(21,2)垂直，其中m为实数，则a的模为．答案：10．m解：令2=t，则t>0．条件等价于tt⋅-+-⋅=(1)(1)20t，解得t=3．22因此a的模为3(1+-)1=0．23.设ab,(Î0,)p，cos,cosab是方程5310xx--=的两根，则sinsinab的值为．7答案：．531解：由条件知cosab+=cos,coscosab=-，从而552222222(sinabsin)=-(1cosa)(1-cosb)=-1cosabab-cos+coscos22=+2

3、2-+=æöæöçç437÷÷-=(1coscos)ab(cosabcos)çç÷÷．ççèøèø552÷÷57又由ab,(Î0,)p知sinsinab>0，从而sinsinab=．54.设三棱锥P-ABC满足PA=====PB3,ABBCCA2，则该三棱锥的体积的最大值为．26答案：．3解：设三棱锥P-ABC的高为h．取M为棱AB的中点，则22hP£=-=M3122．当平面PAB垂直于平面ABC时，h取到最大值22．此时三棱锥P-ABC的体1126积取到最大值S⋅=22⋅⋅=322．DABC3335.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）

4、，则产生的不同的8位数的个数为．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为961-=95．nn-46.设整数n>4，(21xy+-)的展开式中x与xy两项的系数相等，则n的值为．答案：51．nnrn-rr解：注意到(21xy+-=)åC(nxy21-)．r=0n-444n-4n-4其中x项仅出现在求和指标r=4时的展开式C(xy21-)中，其xn44nn(1---)(2n)(3n)项

5、系数为(1)C-=．n24nn--11而xy项仅出现在求和指标rn=-1时的展开式C(xy⋅-21)中，其xynnn--123n-3项系数为CC4(1)⋅-=-(1)2(1)(2)nn-n-．nn-1nn(1---)(2n)(3n)n-3因此有=-(1)2(1)(2)nn-n-．注意到n>4，化简得24n-3n-=-3(1)48，故只能是n为奇数且n-=348．解得n=51．7.在平面直角坐标系中，若以(1r+,0)为圆心、r为半径的圆上存在一点2(,)ab满足ba³4，则r的最小值为．答案：4．222解：由条件知(1ar--+=)br，故22224abrar£=---=---(1

6、)2(ra1)(a1)．2即arar--++£2(1)210．上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式2(2(rr--+=-³1))4(21)4(rr4)0，解得r³4．经检验，当r=4时，(,)(3,23)ab=满足条件．因此r的最小值为4．8.设等差数列{}a的各项均为整数，首项a=2019，且对任意正整数n，总n1存在正整数m，使得aa+++=aa．这样的数列{}a的个数为．12nmn答案：5．解：设{}a的公差为d．由条件知aaa+=（k是某个正整数），则n12k2(adakd+=+-1)，11a1即(2kda-=)，因此必有k¹2，且d=．这样就有1k-2n-1aand

7、a=+-=+(1)a，n111k-2而此时对任意正整数n，nn(1--)nn(1)aa+++=+aandana=+-+(1)d12n11122æönn(1-)=+--+ank1çç(1)(2)÷÷d，çèø2÷确实为{}a中的一项．n因此，仅需考虑使ka-2

8、成立的正整数k的个数．注意到2019为两个素数13与673之积，易知k-2可取-1,1,3,673,2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、