2016年全国高中数学联赛（B卷）一试试题及答案

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1、2016年全国高中数学联赛（B卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列的各项均为正数，且则的值为．2.设，则平面点集的面积为．3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为．4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为．7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为．8.设正整数满足，

2、且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个不同的解，求的值．1710.（20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；（2）求的最小值．1711.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．加试一、（40分）非负实数和实数满足：（1）；（2）是奇数．求的最小值．17二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个

3、数为奇数，证明：有一个约数，满足17三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分四、（50分）设是任意一个11元实数集合．令集合求的元素个数的最小值．172016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列的各项均为正数，且则的值为．答案：6．解：由于且故17另解：设等比数列的公比为，则又因而，从而2.设，则平面点集的面积为．答案：7．解：点集如图中阴影部分所示，其面积为3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为．答案：3．解：设由知，比较虚、实部

4、得又由知，从而有即，进而于是，满足条件的复数的积为4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，17的图像关于点中心对称，且，则的值为．答案：2016.解：由条件知①②由图像的对称性，可得结合①知，③由②、③解得从而另解：因为，①所以②因为的图像关于直线对称，所以③又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而④将③、④代入①，再移项，得⑤在⑤式中令，得17⑥由②、⑥解得于是5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为过所求的

5、概率为6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为．答案：解：的标准方程分别为由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等．因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为．解：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，17建立空间直角坐标系．不妨设此时高从而由条件知，因此设异面直线所成的角为，则8.设正整数满足，且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．解：由于对任意整数，有等号

6、成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个．17另解：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，，这里是一个整数，故因此，当整数满足时，容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立．而，故当时，满足正整数的个数为二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程的两个不同的解，求的值．解对，有即因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而即由等比数列的性质知，10.（20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；17（2）求的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理

7、知，同理得，故已知条件化为即（2）由余弦定理及基本不等式，得等号成立当且仅当因此的最小值为11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．解过点作两条互相垂直的直线与易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件．事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设17注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）．联立与的方程知

8、，即这是一个二次方程式，其判别式为．故与有两个不同的交点．同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，用代替，同理可得于是综上所述，为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数和实数满足：（1）；（2）是奇数．求的最小值．解：