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《2010全国高中数学联赛加试题b卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、乌鲁木齐市高级中学杨帆yf6504@sina.com2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
2、证明：用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交A直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．O2因为PK=P的幂（关于⊙O）+K的幂（关于⊙O）BCK2222E=(PO−r)+(KO−r)，DQP22222同理QK=(QO−r)+(KO−r)，N2222M所以PO−PK=QO−QK，故OK⊥PQ．（10分）由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是AQAP=．①QNPM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得NBDEAQ⋅⋅=1，②BDEAQNMCDEAP⋅⋅=1
3、．③CDEAPM由①，②，③可得NBMC=，（30分）BDCDNDMD所以=，故△DMN∽△DCB，于是∠DMN=∠DCB，所以BC∥MN，故OK⊥BC，BDDC即K为BC的中点，矛盾！从而ABDC,,,四点共圆.（40分）2注1：“PK=P的幂（关于⊙O）+K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使第1页乌鲁木齐市高级中学杨帆yf6504@sina.com得PKKF⋅=AKKE⋅，④则P，E，F，A四点共圆，故∠PFE=∠PAE=∠BCE，从而E，C，F，K四点共圆，于是PKPF⋅=PEPC⋅，⑤2⑤-④，得PK=PE
4、PC⋅−AKKE⋅=P的幂（关于⊙O）+K的幂（关于⊙O）．注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．AOFBCKEDQPNM二、（本题满分40分）设m和n是大于1的整数，求证：⎧mm−1n⎫mmm1kkjj1+2+L+n=⎨(n+1)∑Cnm−∑(Cm+1∑i).⎬m+1⎩k=1j=1i=1⎭m+1m+1jj证明：由（q+1)=Cq得到∑m+1j=0mm+1m+1jj(q+1)−q=Cq,∑m+1j=0分别将q=1,2,L,n代入上式得：mm+1j2−=1C,∑m+1j=0mm+1m+1jj3−2=C2,∑m+1j=0L
5、Lmm+1m+1jjn−(n−1)=C(n−1),∑m+1j=0第2页乌鲁木齐市高级中学杨帆yf6504@sina.commm+1m+1jj(n+1)−n=Cn.∑m+1j=0将上面n个等式两边分别相加得到：mnm+1jj(n+1)−=1(Ci),（20分）∑m+1∑j=0i=1m−1nnmjjm(n+1)(n+1)−=+1n（Ci）+(m+1)i,∑m+1∑∑j=1i=1i=11⎧mm−1n⎫mmmkkjj1+2+L+n=⎨(n+1)Cn−(Ci).⎬（40分）∑m∑m+1∑m+1⎩k=1j=1i=1⎭三、（本题满分50分
6、）设xyz,,为非负实数,求证：222xy+yz+zx3222222x+y+z3()≤(x−xy+y)(y−yz+z)(z−zx+x)≤().32证明：首先证明左边不等式.2212212因为x−xy+y=[(x+y)+3(x−y)]≥(x+y),44同理,有22122212y−yz+z≥(y+z),z−zx+x≥(z+x);（10分）44于是22222212(x−xy+y)(y−yz+z)(z−zx+x)≥[(x+yy)(+zz)(+x)]6412=[(x+y+zxy)(+yz+zx)−xyz];（20分）641由算术-几何
7、平均不等式,得xyz≤(x+y+zxy)(+yz+zx),所以9222222122(x−xy+y)(y−yz+z)(z−zx+x)≥(x+y+z)(xy+yz+zx)8112222xy+yz+zx3=(x+y+z+2xy+2yz+2)(zxxy+yz+zx)≥().813左边不等式获证,其中等号当且仅当x=y=z时成立.（30分）下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于xyz,,对称,不妨设x≥y≥z,于是222222(z−zx+x)(y−yz+z)≤xy,所以2222222222(x−xy+y)(y−yz+z)(z−zx+x
8、)≤(x−xy+yxy).（40分）运用算术-几何平均不等式,得22222222x−xy+y+xy2(x−xy+yxy)=(x−xy+y)⋅xyxy⋅≤()⋅xy2第3页乌鲁木齐市高级中学杨帆yf6504@sina.com222222222x−xy+y+xy2x+yx+y3x+y+z3≤(
