2010年全国高中数学联赛B卷(含详细解答).doc

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1、2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数的值域是.解：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.解：令，则原函数化

2、为，即.由，，及知即（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是9800.解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.1.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.解：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.2.函数在区间上的最大

3、值为8，则它在这个区间上的最小值是.解：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，，所以.综上在上的最小值为.1.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.2.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.解一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.解二：如图，.设与交于点则.从而

4、平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..1.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是.解：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，，.从而满足的正整数解的个数为.二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数，当时，，试求的最大值.解一：由得（4分）.（8分）所以，.（12分）又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.（16分）解二：.设，则当时

5、，.设，则..（4分）容易知道当时，.（8分）从而当时，，即，从而,，由知.（12分）又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.解一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.（5分）由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,..定点到线段的距离.（10分）.（15分）当且仅当，即,或时等号成立.所以面积的

6、最大值为.（20分）解二：同解一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.（5分）设，则的绝对值,（10分）,,（15分）当且仅当且，即,或时等号成立.所以面积的最大值是.（20分）11.（本小题满分20分）数列满足.求证:.（1）证明：由知，.（2）所以即.（5分）从而.所以（1）等价于，即.（3）（10分）由及知.当时，，，即时，（3）成立.设时，（3）成立，即.当时，由（2）知；（15分）又由（2）及知均为整数，从而由有即，所以，即（3）对也成立.所以（3）对的正整数都成立，即（1）对的正整数都成立.（20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题

7、参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．证明：用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延

8、长交直线AM于点P，连接PQ．因为P的