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1、辅助线引法类比激活策略“类比就是相似比较.”或者说类比就是类似比较•联想是一种既有目的又有方向的想象，是由当前感知或思考的问题想起其它事物的心理活动.所谓类比联想是以类比为方法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略.1降低难度的类比❷所谓降低难度的类比(又称简化类比)是根据“简单是真理的标志”和“以退求进”的策略，为了求证复杂的数学证明题，而找与它有内在联系的简单类比题来证明，把简单类比题钻深了，看透了，然后再去证明复杂问题就容易多了.❷我们用类比联想的方法不但构造了简单类比联想题(这是合情推理的猜想)，而且还用
2、论证推理证明了它.正如G•；波利亚说：“在求解所提出问题的过程中，我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果，或者可能三者同时利用”•⑴❷例1如图1,在直线1一旁有平行四边形ABCD,且BE丄1,AF丄1,CH丄1,DP丄1,点E、F、G、H、P是垂足，求证(1)EF=HP,EH=FP,(2)BE+AF+CH+DP=40G.❷图1图2证明(1)由AB二DC推出EF二HP,又由AD=BC推出EH二FP.这是由于相等的平行线段，其射影也相等.❷(2)连结BD、AC相交于0
3、点，作0G丄1,G为垂足.因为根据平移变换，0G既是梯形AFHC的中位线，又是梯形BEPD的中位线，所以❷0G二12(BE+DP),0G二12(AF+CH)❷20G二12(BE+DP+AF+CH),推出BE+AF+CH+DP二40G.令例2如图2,从三角形的三顶点向形外一直线所引三垂线的和，必等于重心向该直线所引垂线的3倍.❷证明一方面根据重心的定义与性质，0E二13BE,可取0B之中点M,又根据平移变换的性质，AE二EC推出GP二PK,又由BM二M0二0E推出HN二NL二LP,EP与0L分别是直角梯形AGKC与MNP
4、E的中位线，0L=12(MN+EP),EP=12(AG+CK)推出MN+EP二20L❷2MN+2EP二40L,但是2MN二BH+OL,2EP二AG+CK,AG+BH+CK+OL二40L❷AG+BH+CK二30L.❷例2到例1是一种类比猜想•❷波兰数学家斯•；巴拿赫说:“一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间的类似；如果能判明论证之间的类似，他就是一个优秀的数学家；可是，我认为还应当有这样的数学家，他能够洞察类似之间的类似•”❷可以想象，从平行四边形到平面三角形，再到平面线段,是类比，则有“线段中点到另一条
5、直线的距离等于线段两端向该直线引垂线之距离和的2倍•”❷从2倍到3倍再到4倍难道不是“类比猜想”到数学思维的“后证”的发现吗！？❷在例2中若三角形外的直线过垂心，又可探索出什么结论呢？读者还可以看出“类比不但有发现真理、认识真理的认识论基础，而且还有证明真理的方法论意义.”又说“客观事物之间的相似性和差异性是类比推理的逻辑基础，相似性的存在提供了类比的可能性，而差异性的存在又限制着类比的范围.如果强调了事物之间的相似性而忽视其差异性，那么就会把类比视为万能的“法宝”到处乱用；反之，如果片面地强调事物之间的差异性而忽视其
6、相似性，那么就会陷入“不可知论”的泥坑.”[2]2结构类比❷所谓结构类比是指新的条件与结论与已经掌握的定理（或公理）的条件与结论极其相似，将它们进行类比，即这种将要探讨的问题与探讨所需定理之间进行的类比叫做结构类比.❷2.1条件联想定理的结构类比❷所谓条件联想定理的结构类比是从已知条件联想定理、公式，通过由“由因导果”的综合法找到证题途径，从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.❷图3例3如图3,已知00的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC丄BD,垂足是E.求证：EA❷2+EB❷2+EC❷2+ED❷2二d❷2.
7、分析由于。0的直径为d,其内接四边形ABCD的对角线AC丄BD,垂足是E,联想起勾股定理，由于DC与AB不在一个直角三角形中，故必须添过圆心的直径A0F,连结CF,BF.EA❷2+BE❷2二AB❷2,ED❷2+EC❷2二DC❷2,CF〃BD❷DC二BF,DC令2二BF❷2❷EA❷2+EE❷2+ED❷2+EC❷2二AB❷2+BF❷2二AF❷2所求证的结论成立.❷2.2结论联想定理的结构类比❷所谓结论联想定理的结构类比是从结论联想定理、公式,通过由“执果索因”的分析法找到证题途径，从而使定理与本题产生结构类比的思想方法.❷
8、例4如图4,两圆外切于P,—直线交两圆于A、B、C、D四点，求证：ZAPD+ZBPC=180°•❷分析1由结论联想到三角形的内角和定理，但是求证的两个角彼此重叠在一起，添过P点的公切线PQ可将角分解代换：ZAPD=ZAPB+ZBPQ+ZCPQ+ZCPD,ZQPB=ZA,ZQPC=ZD,这是弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，又由三角形
