推理2.5 纵向沟通 横向拓宽 激活类比法

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1、2.5纵向沟通横向联系激活类比法勾股定理是古代文明的一个重要标志，吸引了无数仁人志士的探索，因此是证明方法最多的定理，已发表的有近400种，如我国古代赵爽，希腊毕达哥拉斯，意大利达芬奇，美国总统加菲尔德等，他们的证法各具特色.方法大体上是:相似、构图、面积法.那么这条平面几何中著名的定理是否可以在立体几何上找到一个类似的定理呢？首先我们想一想，在空间有什么几何图形是非常类似平面上的三角形？你说这不是很容易吗？三角形是边数最少的多边形.多面体中面数最少是四面体.四面体就可以看成三角形的推广，应该将四面体与三角形类比.再

2、想，四面体中什么与直角三角形类似呢？你看直角三角形顶点张出的角度是直角，我们是否可以考虑一个四面体，它的一个顶点，对着其他三边张出的角度都是直角？非常好！你这样的想法对头了.如果还没有想到，你可以抬头看看你前面的墙脚，你想像一个平面把墙脚的三个互相垂直的边一截，就可以得到这个特殊的四面体了.或者，你可以拿一块长方体的橡皮泥，就在它的一角斜切，就可以得到一个很形象的四面体，不妨叫做“直角四面体”（如图）.直角三角形在空间类似的形体找到了，再回头看直角三角形的性质“勾股定理”是怎样的性质？是有关直角三角形边缘的性质.如果

3、能推广这定理到“直角四面体”，这定理也将是关于它的边缘的性质.直角三角形的边缘是边长，而四面体的边缘是三角形的面积.由勾股定理三条边长的数量关系：，可以猜想四面体的四个面的面积关系了.注意，直角三角形只有两条直角边，而“直角四面体”有3个直角三角形的面.再进一步想.是++=吗？还是++=？可能吃不准，不要紧，你可以找实际的特殊例子来验算，例如设OA=3，OB=4，OC=2.好，这下你找到答案了吧，应该是++=.了不起,你发现了空间的“勾股定理”.不，应该说现在你真正品尝到类比的味道了.在数学学习过程中，我们常常遇到类

4、似的问题，如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法.类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法.波利亚在他的三部名著中反复提到类比推理：“在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中，无不充满了类比.类比可在不同的水平使用.人们常常使用含糊不清的、夸大的、不完全或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到

5、数学精确性的水平.”“类比，特别是未完全说清楚的类比可能是含糊的.例如，比较平面几何与立体几何，我们首先发现平面上的三角形与空间的四面体可作类比，其次三角形与棱锥可作类比.然而这一对类比都是合理的.它们各有其价值.在平面几何与立体几何之间有若干类比关系，而不只一个特殊的类比.”“一般化、特殊化和类比往往协同解决数学问题.”“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”德国数学家、天文学家开普勒也说过：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的

6、老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的.”怎样类比？波利亚告诫我们：“如果把类比推论（猜想）的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的.但是，忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的.”“请牢记，不要忽视含糊的类比.然而，如果你希望这些类比受人重视的话，你就该设法尽量把它们说清楚.”“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强，但是这里类比的质量仍然比数量更为重要.清晰的类比较模糊的相似更有价值，安排有序的例子比随便收集的情况更能说明问题.”运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．设法尽量

7、把它们说清楚.按寻找类比对象的角度不同，数学中常用的类比形式可分为高维与低维的类比（如空间与平面的类比）、结构上相似的类比、复杂问题及其简化后的类比、数式与图形的类比、有限与无限的类比等等类型.下面就几种常见类型举例说明.一．降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比.空间“勾股定理”就是降维类比猜想得到的。例如图，过四面体V-ABC的底面内任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点.求证：++为定值.证明:先考虑平面上的类似

8、问题：在△ABC中边AB上任取一点O，作OA1∥AC，交BC于A1，作OB1∥BC，交AC于B1。求证+为定值.事实上，+=+=1.再考虑空间的上述问题.如图，设平面OA1VABC=M,平面OB1VBAC=N，平面OC1VCAB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV，得++=++.在底面△ABC中，由于AM、