2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题5.3平面向量的数量积及应用（讲）含解析

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1、2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入第03讲平面向量的数量积及应用---讲1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.4.高考预测：（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．5.备考重点：（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何

2、等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.知识点1．平面向量的数量积一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·

11、b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

12、a

13、与b在a的方向上的投影

14、b

15、cosθ的乘积．三、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例1】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A．B．C．D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a

16、·b＝

17、a

18、

19、b

20、cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式1】（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）在中,则在方向上的投影为（）．A．4B．3C．-4D．5【答案】C【解析】对等式两边平方得，，整理得，，则，，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，故选：C.知识点2．平面向量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·

21、a＝

22、a

23、2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．

24、a·b

25、≤

26、a

27、

28、b

29、.二、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．

30、a

31、＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)【典例2】（2018·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则

32、a−b

33、的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，

34、再根据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】（2019·浙江高三期末）若向量满足，且，则的最小值是__.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.考点1平面向量数量积的运算【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知向量，满足，，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为所以选B.【总结提升】①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

35、a

36、

37、b

38、cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律

39、化简，再进行运算．【变式3】已知向量，则在方向上的投影为（）A、B、C、D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.考点2平面向量数量积的坐标运算【典例4】(2019·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)A.B．－C.D．－【答案】A【解析】法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－