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1、向量中一种模型的应用四川省营山县小桥中学陈代琼摘要：高考是一种与速度赛跑的比赛。在高考中，它除了考查我们的常规知识、常规方法与常规思想外，还需要我们去总结一些结论，來加快我们的解题速度。而这就需要我们平时多去探索与研究，不要就题解题，应从题中看到类型，举一反三，从而上升为结论。本文就是以一道高考题为例，进行研究分析。关键词：向量模型分比己知等差数列｛知｝的前舁项和为S”，若丽=4页+如0况，且A，B,C三点共线（该直线不过点0）,则S200等于（）A.100B.101C.200D.201B为了解决上述
2、问题，我们得先提出以下两个结论：定理1三个共起点非零向量云莎天的终点A,B,C共线的充要条件是存在两个实数加,〃使得OC=rnOA^nOB,其中m+n=U若我们按照定比分点的定义形式来体现A,B,C三点共线时，即AC=ACBf2叫做点C分有向线段忑所成的比，便有冼=丄页+丄丽。特别地，当1+21+2■1.1■C为4B的中点吋，便有OC=-O4+-OB。22定理2三个共起点非零向量云云炭，其中一个向量平行另外两个向量终点的连线的充要条件是存在两个实数加屮使得^C=tnOA+nOB,其屮m+«=0o下面就
3、以上两个结论的具体应用举例如下：应用一、模型的直接应用例1如下图，在MBC中，点O是3C的中点，过点O的直线分别交AB.4C于不同的两点M、N,若A3二加AM,AC=mAN,贝+。分析：利用一个向量用同一基底的两种方式表示时，有唯一性，便可以得到方程，从而解决问题。__解法一：设MOFMN—•*—*1—1—(—*1~*2_*nAO=AM+MO=—AB+AMN=—AB+AAN-AM^^-A)—AB+—ACm又点O为BC的中点，从而有:—1—1—AO=-AB+-AC由唯一性知：＜n2(一匕22•1■1•
4、解法二：因为点O为3C的屮点，从而有：AO=-AB^-AC22—*—*—-—*m—/7—又AB=mAM,AC=mAN,从而AO=—AM+—AN,22因为点M*0、/V三点共线，由我们的定理知：一+—=1,=>/??+/?=2o22下面再看到这么一道题：例2如图，在MOB屮，G为其重心，P0过G分别交04于P、交OB于Q,》••■—*11OP=mOA,OQ=nOB,试求一+—的值。mn分析：在这就不介绍常规解法了，直接利用我们的定理1进行解答。解：因为点C为的中点，从而有：元=丄OA+-OB,22因为G
5、为AAO3的重心，从而有0C=—OG,5LOP=mOA,0Q=nOB,23■1——]1从而得到：-0G=——OP+-OQ,因为点P、G、Q三点共线，22mn有丄+丄旦即丄丄32/z?2n2mn应用二：求点分线段的比例3如图，在AABC屮，M为BC的屮点，N在边AC上，肚AN=2NC,AM与3N相交A于点P,求AP:PM的值。解法一：设BPFBN,因为CP=C4+7p=C4+//AM=G4+x/(GW-C4)=(l-//)C4+^C^»又乔二而+丽二而+久丽二而+彳丽一詢=(1一2丽+彳刁，,A.3,由
6、唯一性知：='十即乔」丽，故AF:PM=4:1'=>s5「"41一2=—//=—2F5解法二：设乔二“巫，因为点M为BC的中点，从而有：乔=丄AB+丄兀,221•1•13•由题设知：-AP=-AB+---AN,因为点P.B、N三点共线,•4•AP=-AM,故4P:PM=4:152222所以有:134Qn=—+—=—,艮卩2245同类拓展：例4如右图，在AA3C中，AM:A3=1:3,AN:NC=:4,BN与CM相交于点，求的值。应用三、在求面积之比上的应用例5己知点0在MBC内部，且满足OA+2O〃
7、+3OC=(),则A5OC：AAOC：MOB:MBC为o此题：应用我们的结论就非常的快速了，下面看具体操作：C由OA+2O3十3OC=0得：OA=-2OB-3OC,而在线段BC上必存在点E,使A、0、E三点共线，那么必有OE=-OB+-OC,由定理1知：此时点E分有向线段二所成的比为丄，即BE:EC=3:2,同理由OA+2O3+3OC=0得：ADB2■I■310B=-―OA-一OC,故在线段AC必存在点F,使0、E三点共线，那么必有22—•1•31*0F=-0A+-0C,由定理1知：此时点F分有向线段
8、AC所成的比为3,即AF.FC=3.；44再次由04+203+30C=0得：0C=——0A——0B,故在线段4B上必存在点D,使C、0、33•1—•2—•~~*D三点共线，且必有0D=—0A+—0B,由定理1知：点D分有向线段AB所成的比为2,33即AD:DB=2A.IITfr；SSAOBAF3S^AOBBE3SABCSSAOB4-SAAOC+SBOC6N111J====—,==—、S'BOCFCS^ocBC2S、BOCS^BOC1故S^bqc
