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1、相交于A,B两点，直线/的倾斜角为60°,斤到直线/的距离为2^3.(I)求椭圆C的焦距；(II)如果AF=2FB，求椭圆C的方程.(法通法)联立韦达定理法(设而不求)方式一：(消兀，因为从向量条件看v简单一些；运算中对于d=4不急于代入而是等待“时机”)解：(I)设焦距为2c,由已知可得片到直线/的距离V3c=2a/3,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知必<0,y2>0,因为A巧=2F2B,所以-y{=2y2.+2x2=6fy=V3(x-2)直线/的方程为^=V3(x-2).联立心
2、v2(3^2+b2)y2+4^b2y+/?2(4-a2)=0”+2y2=09,Z?2=5(方式二)3y;运算中对于/■方2二4不急于代入而是等待“时机”)(II)设A(x1,yI),B(x2,y2),由题意知必<0,y2>0,因为A笃=2F2B,所以-y,=2y2.x1+2x2=6y二巧(尢・2)^2(12-b2)V由(1)=>a2=9〃=5直线1的方程为y=V3(x-2).联立<小结：这两种方式没有本质区别，注意：a2-b2=4没有“义务”过早代入。这是圆锥曲线通法之一；（法二：通法）直接利用方程（设而不求）解：（I）设焦距为2c,11
3、1已知可得片到直线/的距离V3c=2V3,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.（II）设4（兀］,必）,〃（兀2，旳），由题意知％<0,y2〉0,因为A/7?=2F?B,所以一开=2旳・K+2x2=6设i4（xpy1）,B（x2,y2）,由题意知必<0,y2>0,因为人笃=2F2B,所以-yx=2y2.xx+2x2=6直线1的方程为y=^（x-2）.=>A（6・2x2,4馅-22）>Bg,V3x2-2^3）……减少变量（代价是式子复杂）！•・・A、B在椭圆上=>（6-2x2）2（4V3-2V3x2）2
4、b24(3■儿Vi2(2・xj24x/-
5、(3-x2)2徜并得，竺I・4（3「勺）2=3=>-a£b3=>x2==4（消去X2就能求a）（抓住时机代入b，=a2-4）1;=1x22t(V3x2-2V3)2a4・13/+36=0na2=9或/=4(舍)/.b2=5评价：此法是解析几何两大“通法”之二，现在接受起来较困难，但是经过训练大家逐步会加深体会进而降低对法一（韦达定理）的依赖。
6、AF2
7、=m,
8、BF2
9、=njn=2n有定义=>
10、AF〔=2a-m;BF]=2a-n在厶AF,F2中由余弦定理：ZAF2F,=60°=>m2+16-4/??=(2tz-m)2=>16-4/n-4t
11、z2+4m?=0在ABF】F?中由余弦定理:ZBF2耳=60°+16+4n=(2a-n)2n16+4n-4a2+4an=0a2-4m=a-122.*.*n=———=>——=2——(消去m、斤就能求°)=>°=3,二a，=9,c?=4,/?'=5a+1a-la+1m=2n注：此法虽巧但是很难想到，不属于两大通法，建议理解即可。（法四）求根法或因式分解法，此法更非通法，基本做题时不考虑！设A（x,,y1）,B（x2,y2）,由题意知％<0,y2>0,因为A笃=2F?B,所以-yx=2y2.x{+2x2=6fy=V3（x-2）直线/的方程为y二
12、希（兀一2）.联立（乂22=（3/+庆）），2+4血3+戸（4・/）=0b+F=1解得『严孕譽宀=电密評因为硯辺寻，所以-y严2丁2・即后¥+孑）=£一屈；（2；2a）得q=3.而所助2=4,$=厉.3q~+/t3a-+b^此法出人意料，如果说命题者的命题意图就是如此的话，我很不赞同。也许就是这样“无心插柳”。好的题目与坏的题目有什么区别？关键是人，是我们给了题目生命，给了数学生命。下面是课后限时作业250页第6题最后一问：已知椭圆y+/=l直线/与椭圆相交于弘2,0）、3两不同点，若点Q（0,儿）在线段4B的屮垂线上且满解：（法一：韦达
13、定理…此法一般为法一，8年高考全都可以用。不过一般比法二运算量大）（方式一）设而不求，这是绝大部分题目的最常规方法；由题意知设4（坷,儿）,〃（兀2，力），其中：则如？中点C坐标为B（无+巴,北+力）,1,若直线/的不存在，不满足题意；2,直线/的方程：），=k（x+2）与椭圆^-+y2=1联立得：（l+4Z:2）x2+16）t2x+16^2-4=0,-6k216k2-4x.+x7=,x,x2=-1一1+4/12]+僦24kn『1+『2=kg+2)+k(x2+2)=kg4-x2)+4Z:=-~;y{y2=kg+2)k(x2+2)=k2[
14、2(%j+x2)+XjX2+4]=0;(注：也可利用=0)%!+x2_-8/:2+y2_2k-Sk22k2—1+4/'_2—1+4,'•■(1+4/‘1+4/)1°若k=0.则紅0不存在；此时
