概率与数理统计离散型随机变量

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1、§4.2离散随机变量及其分布律离散型随机变量的例子：例1～例6说明：一、离散型随机变量的分布律定义：离散型随机变量的分布律也可表示为解则有例1例2：袋中有5个球，分别标有编号1，2，3，4，5，现在从中同时取出3个球，以X表示取出球的最小号码。求X的分布律和分布函数。二、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.两点分布实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为实例2200件产品中,有190件合格品,10件不

2、合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明两点分布随机数演示伯努利资料2.二项分布实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.(3)二项概率公式称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布二项分布的图形例：在相同条件下相互独立地进行5次射

3、击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例2解图示概率分布解因此例3计算繁琐！有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?设1000辆车通过,出事故的次数为X,则解例4故所求概率为二项分布泊松分布计算量太大！3.泊松分布泊

4、松资料泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水上面我们提到单击图形播放/暂停ESC键退出二项分布泊松分布设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用

5、泊松定理计算所求概率为解例4有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?例5为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解所需解决的问

6、题使得合理配备维修工人问题由泊松定理得故有即个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8例6设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障故有即有按第二种方法故80台中发生故障而不能及时维修的概率为4.几何

7、分布若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律.几何分布随机数演示所以X服从几何分布.说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布两点分布三、小结JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,SwitzerlandDied:16Aug1705inBasel,

8、Switzerland伯努利资料泊松资料Born:21June1781inPithiviers,FranceDied:25April1840inSceaux(nearParis),FranceSiméonPoisson考研题：设一只昆虫所生虫卵数为随机变量X,例6设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X~P()，且每个虫卵