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《数学学年论文毕业论文富里埃级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、富里埃级数摘要：本文主要介绍有关富里埃级数方面的知识，分为五部分：(1)引言；(2)富里埃级数展开；(3)富里埃级数的收敛性。关键词：富里埃系数，狄立克莱积分，黎曼引理，狄尼定理，李普希兹判别法，狄立克莱引理，狄立克莱判别法。引言：在科学与工程屮，常遇到周期现象，自然地通常用周期函数来刻画它们，蒸汽机和各种转动设备都是周期现象的实例，由发电机产生的交流电，也是周期现象的实例。这样，如蒸汽机中十字头的路程，速度，加速度，蒸汽压力和交流电屮的电压，电流等都用周期函数来刻画。如果存在一个止数T,使得/(T+r)=/(r).我们就称f⑴为周期函数
2、，T称为一个周期，如果存在最小的周期兀，我们称/⑴是以几为周期的周期函数。最简单的周期函数是正弦型函数Asin(wf+0)(1)它止好刻画了力学上的调和振动(或间谐振动)，其中w是频率，它与周期的关系是w寺(2)A是振幅，a是初始相位。用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数,因为频率和同的止弦型函数之和仍是一个同频率的正弦函数，所以用以组成复杂的各止弦函数必须有不同的频率.例如三个止弦函数Z和sinr+丄Sin2/+丄sin3/.图形就已经相当复朵了，可以24想象，如果用无穷级数，就可以表示各种各样的复杂函数了.8(P(t)=A(
3、)+工Ansin(nwt+aH)n-几何上看,(3)表示周期函数的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成.力学上看,由函数表示的复杂振动可以分解成调和振动的和，将周期函数分解成调和振动函数的过程，称为调和分析，作简单变量替换x=wt,n到函数则⑶式成为8f⑴二Ao+工4sin(/n讥+ajr?=l由和并化积公式我们可以把(4)改写为/(x)=tz0+zacosnx+bnsinnx)n=其中A0=a0,Ansinart=art,A„cosan=bn。(5)式称为周期函数的级数Foi加纣展开.这里产生一系列基本的数学问题(1)给定一个周期
4、2兀的函数，在什么条件下它有级数尸①加少展开式？(2)如果一个函数存在级数展FouhZ厂展开式，如何获得这种展开，即如何确定展开系数a“，b”它们称为系数。Fourier(3)Fourier级数展开式何时在某种意义下收敛?收敛到什么值？(4)何种条件下Fourier级数展开式收敛到f(x)。木文将部分地解决这些问题，并对其他问题给以简单介绍，而它们的完全解决须要一门专业课程。〈一〉Fourier级数展开为了确定周期函数的F"刃纣级数展开式，我们首先了解一下正交三角函数系。设c是任意实数，［c,c+2龙］是长度为2龙的区间，由于三角函数co
5、skxdx-coskxdx-0cos^x,sinfc¥伙=1,2,A)是周期为2兀的函数，经简单计算有sinkxsinIxdx=0,伙工I.kJ=1，2,A)》coskxcosIxddx=0利用积化和并的三角公式容易证明最后有2龙°円2ff®1+cos2kxtcos~kxdx=
6、cos~kxdx=
7、ax=7t:+2兀2sinkxdx=兀,伙=12A)?+2/r1dx=2兀定义1°：对于我们考察的三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,•--,cosnx,sinnx,…}其中每一个函数在长为2兀的区间上定义.如果满足以下
8、两条:(i)其小任何两个不同的函数的乘积沿区间上的积分为零(见(1)(2))(ii)每个函数自身平方沿区间上的积分非零(见(3))这吋，我们称这个函数系在长为2龙的区间上具有正交性。+00定理1若在整个数轴上/(x)=—+cosnx+bnsinnx)2,i=且等式右边级数一致收敛，则得到欧拉一富里埃公式an=—『/(x)cosnxdx,n=0,l,2,…71—=—Tf(x)sinnxdx,n二1,2,…71—•(5a)(5b)证明由定理条件，函数f在卜九；T］上连续且可积。对(4)式右边逐项积分得+00f(x)dx=—PJx4-『cos
9、nxdx+hn『sinnxdx)n2/：=!由关系式(1)矢U,上式右边扌舌号内的积分都等于零。所以f(x)dx=—•2^=aG7r即得4)=丄『fMdx71丄兀现以cos也乘(4)式两边(k为正整数)得apf(x)coskx=—cosfcr+工(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx)2再rh级数(4)一致收敛，可推出级数(6)也一致收敛。于是，对级数(6)逐项求积，有f(x)coskxclx=—^coskxdx+£(色J2n=cosnxcoskxdx+bnjsinnxcoskxdx)由三角函数的正交性，右边除了以为系数的
10、那一项积分fcos2kxdx=Ti外，其他各项积分都等于0,于是得出f(x)coskxdx=ak7r,(k=1,2,A)同理务=—『f(x)coskxdx,(k=1,2,A)71丄兀(4)式两
