《小波分析入门》PPT课件

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1、小波分析入门傅里叶分析-FourierAnalysis傅里叶分析是目前信号分析的基石傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量从‘变换’的观点看，傅里叶分析是时域与频域转换的桥梁由于了解信号的频率成分非常重要，傅里叶分析是非常有用的工具.为什么我们还需要如小波分析等的其它技术？傅里叶分析的缺点１．在变换到频域后，信号的时间信息丢失；２．从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时刻发生的情况；若信号在整个时间历程上属于平稳信号(其统计参数变化不大),傅里叶分析的这些缺点并不显注.但在我们所处的世界中却经常会遇到繁多的非平稳信

2、号:漂移,趋势,突变,事件的开始和结束等.该类信号往往是信号最主要的特征,而显然不满足傅立叶分析的平稳性要求.短时傅里叶分析(Short-TimeFourierAnalysis)为解决傅里叶分析的缺点,DennisGabor(1946)提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观点,即所谓的Short-TimeFourierAnalysis-STFT,将信号映射为时间和频率的函数.短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率表示的折中,可反映信号在何时和什么频率发生。然而在精度上却比较粗糟（由窗口决定）。STFT在信

3、号的时间和频率表示上的折中是有用的，其缺点是一但你选择了某一长度的窗后，它将对所有频率成分都有效。而许多信号要求能有比较柔性的窗----我们可以调整窗长以取得比较精确的时间和频率。小波分析(WaveletAnalysis)小波分析代表了另一种信号分析方式：一种具有变化区域的加窗技术。小波分析允许使用长时间间隔—在需要获得比较精确的低频信息时；和使用短的区域—在需要获得高频信息时。下图为从时域，频域，STFT,和小波分析观察信号的示意。注意：小波分析没有使用时间-频率坐标，而是使用时间-尺度坐标。小波分析可以做什么

4、？小波分析的一个主要优点是其可以做信号的局部分析。小波分析能反映其它一些信号分析手段不能很好反映的信号信息，例如趋势、断点、不连续性等。进一步,小波分析提供了与传统方法不同的视角，目前小波分析在压缩或降噪方面有广泛的应用。什么是小波分析一个小波是在有限区间内存在,且均值为零的波形.相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在无限区间内存在。正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则波形，且非对称。傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦波。与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、平移的小波。连续小波变换--CWT从数

5、学的观点看傅里叶变换与此类似，小波分析变换公式为为母小波，C为小波系数，为尺度与位置的函数。小波系数C乘以与位移和尺度化后的小波，得到原信号的小波分量。尺度化（比例缩放）--Scaling前面谈到了小波将信号映射到时间-尺度域，下面对尺度化和时移进行解释。小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩。a为尺度因子下面是正弦波的尺度变化示例小波的尺度变化与正弦波的变化类似，尺度因子越小，信号越被压缩。注意：频率与尺度有密切联系平移--Shifting小波的平移意味着小波起始位置的变化。在数学上若原信号为f(t)，则其时

6、移表示为f(t-k)。连续小波变换的5个基本步骤1、选取一个小波，将其与原始信号的开始一段进行比较。2、计算小波系数C，其值的大小取决于小波与选取信号段的相似程度，越相似其值越大。更精确的是若信号与小波能量都等于1，则C可解释为互相关系数。注意：系数的大小与所选择小波的形状有关。3、从左到右平移小波逐段重复步骤1、2的比较，直到完成整个信号的比较。4、小波伸缩（尺度化），重复步骤1~3。5、重复1~4步得到所有尺度下的小波系数三维显示小波分析得到的时间-尺度图谱，不同于时间-频率图谱。尺度与频率不同，但并非没有联

7、系。尺度与频率小尺度a压缩小波变化剧烈高频大尺度a扩展小波变化平缓低频自然界中的尺度提供尺度而非频率信息并非小波的缺点连续小波变换的连续含义区别于离散小波变换，其尺度和平移可以比较自由离散小波变换连续小波变换的计算量非常大，费时1988年Mallat提出二进离散小波变换的快速算法---滤波算法。第一部滤波：逼近和细节对大多数信号，其低频分量比较重要；高频包含大多数的冲击和噪声；在小波分析中称为逼近和细节；逼近成分对应大尺度低频分量，细节成分对应小尺度高频分量。下图为小波分析滤波示意原始信号S通过两

8、个互补的滤波器得到两个信号A和D.在数字信号处理中S将被使用两次;设S具有1000个采样点,则D和A也将分别具有1000采样点;在离散小波分析中采用二取一的”降采样技术”得到分别具有500点的小波系数cD和cA;下面以一单级离散小波分解举例说明以上过程.使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正弦信号,其分解原理图如下Matlab语句如下s=sin(20.*linspace(0