从特殊到一般解题策略

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1、从特殊到一般解题策略湖北省钟祥市罗集一中（431925）陶丽萍应用“由特殊到一般”的数学思想解题，能培养学牛归纳思维习惯和创新思维能力；能使学4：在探索过程中深刻地领悟到掌握数学思想和方法的重要性.山浅入深，山特殊到一般地研究数学问题，同时能培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质•下而举例说明.例1（2004年山东滨州市中考题）桌面上有周氏是4a的线圈，证明：（1）如图1,当线圈做成正方形时，能被半径是a的图形纸片完全盖住；（2）如图2,当线圈做成平行四边形时，能被半径是a的图形纸片完全盖住；（3）如图3,不论线圈做成什么形状的曲线，还都能用半径为a的圆形纸片完全盖住吗？若

2、能盖住请证明；若不能盖住说明理由.图1分析：要证明图形被某岡覆盖，只要证明出被覆盖的图形上任一点均在岡内即可，即找到此圆的圆心和半径。图1和图2是两个特殊图形，问题容易解决：对于止方形和平行四边形能否被I员I覆盖，只需找出四个顶点到恻心距离小于或等于a即可.同时从特殊图形屮可以发现解题规律：覆盖岡的岡心应该是对角线的中点，并且对角线把图形周长平分.解析：（1）如图1,因为四边形ABCD是正方形，所以OA=OB二OC=OD二一a

3、OA二OBva,同理，OA=OC

4、小心时，则形彖地任取两点平分曲线周长，构造一个中心.例2.（2004年河北省中考题）我们知道：山于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成而积相等的两部分（如图2—1）.探索下列问题：（1）在图2—2给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个疋方形都分割成向积相等的两部分；图2—2（2）一条竖直方向的直线加以及任意的直线小在由左向右平移的过程中，将正并边形分成左右两部分，其而积分别记为S】和S,HI①请你在图2—3屮相应图形下方的横线上分别填写S]与S?的数量关系式（用“v”

5、,“=”，“>，，连接）；②请你在图2—4中分别画出反映Si与S2三种人小关系的直线斤，并在相应图形下方的横线上分别填写S】与S?的数量关系-式（用连接）.（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图2-5）分割成面积相等的两部分?请简略说岀理山.(2)①S

6、<52S

7、=S2Si>S2（3）存在.对于任意一条直线/,在直线/从平曲图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线Z分割后,设直线2两侧图形的面积分别为S1，S2.两侧图形的面积由S&2（或$>S2）的情形，逐渐变为S]>S2（或S

8、<52）的情形，在这个平移过程中，-淀会存在S]=S2的时刻.因此，一定存在一

9、条直线，将一个任意平而图形分割成而积相等的两部分.评注：本题首先从特例入手来发现规律，再把发现的规律拿来解决新问题，并探索规律成立的理由。给学牛提供了探索、猜想的空间，经历观察、实验、比较、猜想、推理、反思等活动，展示了学生的思维过程，不但获得了知识，而且培养了口信心、科学精神、实践能力和创新意识。例3（2004年天津市屮考题）已知A为OO±一点，3为与04的交点，0/1与O0的半径分別为!•、R,且r4/V=2Rr；（2）如图，若04与OO的交点为E、F,C是弧EBF上任意一点，过点C作04的切线与O

10、O交于P、（2两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论.分析：本题是圆中等积线段问题的探讨问题，题中两个问题渗透了rfl特殊到一般的思想.第（1）题易联想到延长AO交G>O于D,连接DM,构造RtAABM^>RtAAMD來证明.第（2）小题实质上只要延续第（1）题的论证思路不难发现，当切线的位置发生变化时,与（1）题类似的结论仍成立.证明：（1）如图1,延长AOA/O0交于点D,连结DMoVAD为直径・•・ZAMD=90°VAB为0A的半径，MN为OA的切线，B为切点Z.AB丄MN,ZABM=90°VZ