从特殊到一般.doc

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1、从特殊到一般------------一个数学问题的研究(西安美术学院临潼校区陕西省小学教师培训中心王凯成710600)人教版小学数学课标教材五年级上册第87页第7题是：“把一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？你能想出几种方法？”把一个三角形分成四个面积相等的三角形，这涉及到三角形面积的剖分,能找到多少种小学生能理解的剖分方法呢？笔者在文[1]《一个剖分问题的分类研究》中找到了小学生能理解（利用“等底等高的两个三角形等积”的原理）的106种剖分方法.实际上,还有2种剖分方法,要数形结合，用解析几何的方法.

2、一、先找一个实例为了找到一个实例，首先选择一个特殊的直角三角形，如图1所示.三角形ABC的A点与坐标原点重合，B点在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上.A、B、C的坐标依次是A(0,0)、B(4,0)、C(0,2).则三角形ABC的面积为4.如图1，设,.这时，只要再满足.如图1，由D、F、A三点共线知：由E、F、C三点共线知：由B、D、E三点共线知：由即知：，或(由要么推出为负值，要么推出为负值，所以舍去).由与消去有：由与消去有：再由与消去有：，由知，所以，.变形为：.由与知：与是的根.解知：.(1).当时，

3、即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐标为、、.如图1所示.(2).当时，=即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐标为、、.如图2所示.一、任意直角三角形把直角顶点A与坐标原点重合即A(0,0)，如图1，设B、C、D、E、F的坐标为B(4a,0)、C(0,2c)、D(,)、E()、F()，.这时已有，所以只要就可以推出.由D、F、A三点共线知：由E、F、C三点共线知：由B、D、E三点共线知：由知：由与消去有：由与消去有：再由与消去有：变形为：由与知：与是的根.解得：.(1).当即时，即.再由知：.再由知：.

4、所以D、E、F的坐标为、、.如图1所示.(2).当即时，即.再由知：.再由知：.所以D、E、F的坐标为、、.如图2所示.一、任意三角形对于三角形ABC，不妨设，把A与坐标原点重合即A(0,0)，如图3，设、、、、，=.这时已有，所以只要就可以推出.由D、F、A三点共线知：由E、F、C三点共线知：由B、D、E三点共线知：由知：由知:由与消去有：由与消去有：再由与消去有：由与(*)消去有:,即为由与知：与是的根.解方程得:.(1).当即时,即.再由知:.再由知：.再由知:.所以D、E、F的坐标为、、.如图3所示.(2)

5、.当即时，即.再由知:.再由知：.再由知:.所以D、E、F的坐标为.如图4所示.由以上结论可知：当三角形ABC的坐标是A(0,0)、B(,0)、C(b,c)时，、b、c皆正，若取,或取，都有：.所以，把一个三角形分成四个面积相等的三角形，一共有108种剖分方法.参考文献1.王凯成,一个剖分问题的分类研究,中学数学教学参考初中版,2011年第7期.