专题研究精选：三角函数最值问题典型错例剖析

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1、u」葛圭h三网om三角函数最值问题典型错例剖析北京首都师范大学附中沈杰三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变,突出对思维的灵活性和严密性的考察，历來都是高考中的常见题型。学生在解决这些问题过程中常常曲于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。例1・已知2a+0=龙，求y=cos/?-6sincz的最小值。错解：由2a+0=/r,得•0=兀-2a,贝U*(3)211y=cos(龙一2q)—6sina=2sin2a-6sina-1=2sina——2/211~2剖析:

2、正解:错在忽视了三角函数的有界性。y=cos(tt一2a)一6.(.3)sina=2sina—I2丿因为sinx<1,所以当sina=-1时,ymax=7当sina=1时，ymin=-5例2.已知05x5龙，求函数y=sinx-cosx的最大值和最小值。错解：y=sinx-cosx=V2sinxv4/由0max=1'ymin剖乐单调函数的最值在边界上，但正弦函数在闭区间--2)71T上不单调,因此，函数最借不一定在区间端点处取得。此题错在误用了函数单调性的性质。止角军：y=s

3、inx-cosx=V2sinx•v4丿■,[r7TTC3九"因为

4、-

5、<—,求函数y=sin?x+acosx+-d——的最大值。2'82错解：y=1-cos2x+«cosx+—«82(a}2a251=-cos兀+—a—I2丿482当cosx=纟时，有ynnx=-+-a-丄2max482剖析：错在忽视了参数的变化对函数最值的影响。w(汀/51ihfflT：y=-cosx—+——+—a—I2丿4827T因为05x5—,所以OWcosxWl2当0G2,即0今1时,七alf

6、a251有cos二时,ymax=T+r--当d〉2,即->1N2有COSX=1时,)max13有cos兀=0时,例5.求函数y=—的最大值和最小值

7、。13-4cos2x错解：原函数化为4>'sin2x-sinx+9y=0关于sin兀的二次方程的判别式A=(-1)2-4x4yx9y>0即-—

8、3剖析：若取y=±—,将导致sinx=±-的错误结论，此题错在忽视了隐含条122件lsinxl

9、sinx

10、<1当yH0时，解得sin兀旁XsinxwR,lsinxl<1,1-144于>0<1+Jl-144v2-1<—'<18y解得——y——1313所以『max=匕，V

11、min=~8y则有l-144y2>01_Jl_144y2-1<—、<1max例6.求函数y=l-2x--的最值。X3、一-匸错解：y=1-2x+-j

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14、学科数学版

15、木組数内容标题三角函数最值问题典型错例剖析分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与□学主题词三角函数最值问题典型错例剖析栏目名称专题辅导供稿老师审稿老师录入李红英一校陈丽娜二校审核