层次分析建模举例

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1、层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用2002年全国大学生数学建模竞赛B题：已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的算法。一、问题的提出已给的29种方案分为两种类型1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级；表1：“传统型”中奖办法中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码选7中

2、一等奖abcdefg6+1二等奖abcdef6三等奖abcdeXXbcdef5四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef4五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef3六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef22、“乐透型”有多种不同的形式如“33选7”的方案：投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。表2：“透乐型”（7/33）中奖办法中奖等级33选7（7/33）基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7

3、）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）三等奖●●●●●●○选7中（6）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）五等奖●●●●●○○选7中（5）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）七等奖●●●●○○○选7中（4）二、各方案各奖项获奖概率的计算29种方案的获奖概率分为4类：•K1：10选6+1型，带限定条件的可重复排列；•K2：n选m型，有特别号码，带限定条件的组合；•K3：n选m+1型，有特别号码，带限定条件的组合；•K4：n选m型，无特别号码，组合；三、各高项奖奖金额的计算[当期销售总额×总奖金比例–低项奖总额]×单项奖比例一等奖奖

4、金额（万元）其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底金额；Qij为第i种方案得第j等奖的单项奖比例；M为当期销售总额；n为低项奖总额；Q为总奖金比例。四、层次分析模型彩票中奖方案选择高项奖中奖率一等奖奖金额中奖率Pi方案1方案2…….方案292层对1层成对比较矩阵：风险喜好者偏好风险回避者偏好3层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作比值，得3个29×29的矩阵B1，B2及B3。考虑风险喜好者偏好，“29选7”为最佳方案，奖金分配见下表：考虑风险回避者偏好，“60选5”为最佳方案，奖金分配见下表：一等奖比例二等奖比例三等奖比

5、例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额80%10%10%1001000一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额70%20%10%25040105