三角函数题常见错误分类剖析

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1、三角函数题常见错误分类剖析湖南省通道县民族中学杨长文湖南省祁东县育贤屮学周友良(421600)解三角函数问题时，同学们普遍存在会而不对、对而不全。造成失谋的原因是由于忽视角的范围，不善于挖掘隐含条件，从而导致功亏一赞，下而举例说明.一.忽视函数的定义域对角范围的制约致错注意定义域对角范围的制约冇些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解。例1.求函数f(x)=sinACOSV的递增区间。1+sinx+cosxt2-1错解：设f=sinx+cosx,贝ljsinxcosx=,丁•是t2-1t-1sinx+cosx-1V2.(7t===—sinx+—2V4,2/

2、(x)2(1+02由2k71-—<%+—<2k7C+—,242解得函数/'(兀)递增区间为tc2k/r+—(keZ)L44」因为题口中分母不能为零，即剖析：上述解法忽略了函数的定义域。71711+sinx+cosx工0=>V2sin^x+—Ih—1=>x工2k兀且兀H215-71.所以函W(x)递增区间为z"17171,2k兀—(kwZ).<242tanx2滋一手，2炽一勺及例2•求两数y=—―二的最小正周期。l-tairx错解：・.・y=2伽：=伽2小:,T=-O即函数的最小正周期为兰。1-tan2^22错解剖析：仝不是y=2(an^的周期，因为当兀=0吋，y=2伽：有意义，所

3、21-tan"x1一tan*771777以由周期函数定义知应有/(0+—)=/(0)成立，然而/(0+-)根本无意义，故一不是其所以函W(x)递增区间为z"17171,2k兀—(kwZ).<242tanx2滋一手，2炽一勺及例2•求两数y=—―二的最小正周期。l-tairx错解：・.・y=2伽：=伽2小:,T=-O即函数的最小正周期为兰。1-tan2^22错解剖析：仝不是y=2(an^的周期，因为当兀=0吋，y=2伽：有意义，所21-tan"x1一tan*771777以由周期函数定义知应有/(0+—)=/(0)成立，然而/(0+-)根本无意义，故一不是其周期，错解是由于忽视其定义

4、域产生的。正确解洙由于函数"眷的定义域为龙儿吒伙故作出函数=tan2x的图彖，可以看出，所求函数周期应为兀。二.忽视注意三角函数值对角范围的制约致错三角求值或求角的人小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。，求B。1C行例3.已知・、B为锐角，cosa=?,sin(a+0)=話错解：由a、B为锐角，知Ova+0C7r,所以cos(a+0)=±#。711乂cos0=cos[(a+0)—匈二cos(a+/?)coscr+sin(a+0)sina=宛或cosB=—,得0=arccos—或0=—。983剖析：在上面的解法屮，

5、未能就题设条件进一步缩小«+P的范I札引起增解。我们可以作如下进一步分析：因为Si呢+0)=畔V孕且0505TT所以05+0行或zi-f冗兀,付——<(X<——3712,从吒505,于是2龙々r11——

6、v龙，所以0vq+0v2tt,③3龙171由②③得a+^=—或&+0=出24一(小辨析:由①知，tan<7,tan/?两根同号且均大于0,所以a,(5e0,—,0va+0<龙。2丿故止确答案为:a+fi=—4三.忽视三角形的边角关系对角范围的制约致错解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等暈关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产牛增解。35例5.A、B、C为AABC的内角，iLcosA=sinB=—,求cosC的值。113由cosA=-5故sin"亍又sinfi=-12B兀)，所以cosB=±—o从而]656cosC=-cos(A+B)=—cosAc

7、osB+sinAsinB=一一或cosC=—。656554剖析1：由于sinB=—,sinA=-,故sinBvsinA,两边乘AABC外接圆的直径1352R,得54—<——=13527?sinB<27?sinA=>B”，与A+BS矛盾。故角B为锐角，从而cosA^,故cosC=1665在三角变形过程小，有时