湍流的多重分形谱分析

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1、湍流的多重分形谱分析作者：周宇欢傅强报告人：周宇欢中国人民解放军理工大学二ΟΟ六年五月二十七日主要内容引言理论介绍WTMM理论验证及其应用结论一、引言分形与多分形WTMM理论本文工作1、分形与多分形自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。分形几何是研究在标度变换下不变测度性质的一门数学分支，分形本身表示有自相似性或自仿射性的结构。分形是介于无序与有序、宏观与微观、简单性与复杂性、随机性与确定性之间的一种过渡状态。多分形多分形是定义在分形结构上的

2、有无穷多个标度指数所组成的一个集合，是通过一个谱函数来描述分形结构上不同的局域条件、或分形结构在演化过程中不同层次所导致的特殊的结构行为与特征，是从系统的局部出发来研究其整体的特征，并借助统计物理学的方法来讨论特征参量的概率测度的分布规律，多分形理论是现今分形理论研究的热点。2、WTMM理论现实存在的分形结构几乎都是无规分形，其多分维谱的计算十分复杂，需要进行大量的图像分析与统计运算，而利用小波变换的WTMM理论将使研究变得方便许多。研究多分形时，最著名的是所谓基于小波分析的“小波极大模理论”，它是法国

3、学者A.ArneodoE.Bacry和J.F.Muzy等人提出的，其在湍流、生命科学、经济等方面的研究和应用有突出的优点，如湍流信号的多分形研究、DLA模型、DNA结构模型、湍流涡结构以及标度率的研究等方面，他们都做了大量的研究。已有的研究表明，小波理论在刻画系统的多层次、多尺度、多强度结构的关系方面特别有效，尤其是多标度特性，也即多分形特性。3、本文工作应用WTMM方法对几个简单的标准多分形结构进行分析。用WTMM方法分析了一个是充分发展的RayleighBenard对流温度信号。二、理论介

4、绍分形理论及其应用多分形理论小波分析WTMM方法刻画分形特征1、分形理论及其应用分形的特征分形维数分形维数的测定分形的特征有精细的结构，在任意小的尺度之下，它总有更复杂的细节；分形是不规整的，整体和局部不能用传统的几何语言描述；分形通常有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义下的；一般地，分形的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数；分形以非常简单的方法确定，可以由非线性的迭代过程产生。分形维数Peano曲线Koch雪花曲线分形维数如果某图形是由全体缩小的b个相似形所组成，即，所以定义相似维数为：

5、1919年，Hausdorff提出维数可以是分数，并定义了分数维的Hausdorff测度，其定义都是基于“用尺度进行量度”这样的设想。分形维数以瑞典数学家VonKoch在1904年首次提出的Koch曲线为例。Koch曲线是由把全体缩小成1/3的四个相似形构成的，其基本单元由4等长的线段构成，每段长度为1/3，即：2、多分形理论多分形的定义多分形的物理含义描述多分形的语言描述多分形的语言语言和语言的关系多分形的谱图物理意义多分形的定义简单的分形对所研究的对象只能作一整体性的、平均性的描述与表征，无法反映不

6、同区域、不同层次、不同局域条件形成的各种复杂的分形结构全面精细的信息，不能完全的揭示出产生相应分形结构的动力学过程，为此人们提出了多分形的概念。多分形的定义多分形对于系统中每一个不同的奇异指数不是做一个整体的平均，而是计算出每一个奇异指数的所占的比例，形成一个谱图，由这个谱图，我们能更加准确和详细地了解该系统的特性。多分形用一个谱函数来描述分形体不同层次的生长特征，从系统的局部出发来研究其最终的整体特征。每一个不同的层次用不同的参量来表示，这些不同的参量构成一个完整几何体。多分形的物理含义6-4分can

7、tor集2-6-2分cantor集多分形的物理含义多分形的物理含义多分形谱图的计算：6-4分cantor集：2-6-2分cantor集：多分形的物理含义7-3分cantor集：4-2-4分cantor集：多分形的谱图物理意义多分形的谱图物理意义奇异谱的最大宽度是多重分形的一个重要参量，它描述了测度分布的非均匀的程度和系统发展是否充分的程度，一般地讲，Δα越大表明概率分布越不均匀，Δα越小分形区分布越均匀。和的数值分别描述了测度取极小值和极大值时，所对应的子集的分维数。由于在处有，也就是。对于所有构成的子

8、集，它们的分维数都比分形维数小。分形谱中大的α反映的是分形测度小区域的性质，而小的α反映的是测度大区域的性质。描述多分形的语言单元测度与单元尺度满足幂律关系，则称为Holder指数。它控制着测度的奇异性，因此亦称做奇异性指数。的r维Hausdorff测度定义为：此时若存在临界指数，使得：则称为该多分形的奇异性谱。描述多分形的语言设测度支集x经迭代后的单元为，概率测度为，第i单元的概率为当时，则，那么可以定义的阶矩：此时广义维测度为如果存在依