微积分的证明

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1、本科毕业论文(设计）题目积分不等式的证明院（系）　数　学　系　专业信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称论文字数完成日期:年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明

2、本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院.学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致.保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定.本人签名：日期：导师签名：日期：巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）积分

3、不等式的证明摘要本文讨论了积分不等式的证明，给出了几类典型的证明方法，包括黎曼积分性质、多重积分正定性质、积分中值定理、函数单调性、Jensen不等式、有穷不等式经极限运算转化和概率公式，并给出相应的例子给予了说明.关键词：定积分；不等式；凸函数；概率论I巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）TheProvingofIntegralInequalitiesAbstractInthispaper,theproofofintegralinequalitiesisdiscussed.Severalprovin

4、gmethods,includingthepropertiesofRiemannintegral,thepositivedefinitenessofmultipleintegral,integralmeanvaluetheorems,functionmonotonic,Jenseninequality,themethodofthelimittransformingthefiniteinequalityandprobabilityformulaaregiven.Correspondingexamplesa

5、regiventoillustratetheeffectivenessofmethodsabove.Keywords:definiteintegral;inequality;convexfunction;probabilitytheoryI目录摘要IAbstractII前言11.利用黎曼积分性质证明积分不等式12.利用Jensen不等式证明积分不等式34.通过有穷不等式经极限运算转化证明积分不等式55.利用重积分的正定性证明单积分的不等式66.其他方法证明积分不等式86.1利用积分中值定理证明积分不等式

6、86.2利用函数单调性证明积分不等式86.3利用概率公式证明不等式9结束语10参考文献11巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）前言在微积分学中，对积分不等式证明的研究是重要而又常见的课题.通过研究积分不等式，在很大程度上能够帮助我们拓宽解题思路、提升运用数学知识的能力；其次，借助于积分不等式的证明，有助于更好地理解和把握高等数学的整体框架和脉络，因为积分不等式的证明应用了许多高等数学的思想和理论.在以下的讨论中我们将观察到如何利用黎曼积分性质、多重积分正定性质、Jensen不等式等方法证明积分不等式[

7、1,2].1.利用黎曼积分性质证明积分不等式定义1.1[3]设闭区间上有个点，依次为，它们把分成n个小区间，这些分点和这些闭子区间构成对的一个分割，记为.小区间的长度为，并记，称为分割T的模.定义1.2[3]设f是定义在上的一个新函数，对于的一个分割，任取点，并作和式，称此和式为函数f在上的一个积分和，也称黎曼和.定义1.3[3]设f是定义上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有9巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）则

8、称函数f在区间上可积或黎曼可积；数J称为f在上的定积分或黎曼积分，记作定理1.1[3]若在上连续，则至少存在一点，使得定理1.2[3]对于任何有如下的三角不等式例1.1[4]设在上有连续的导函数，证明：对于有(1.1)证明由于在上连续，因此在上也连续，所以由定理1.1知在一点，使得.(1.2)又因为，即.由定理1.2知，,(1.3)由(1.2)式知，上式可变形为9巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）因此(1.1)式得证.本题的解法关键在于