小谈数学悖论

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1、I’mtellingalie!!!!!黑板上不许涂写!!!!!小谈数学悖论06数专徐一博悖论是什么呢？英文中的悖论paradox一词自古希腊语“para+dokein”意思就是“多想一想”矛盾的结合体二律背反antinomy我们的悖论(严格意义上的)paradox悖论谬论fallacy两个显然令人信服的原理之间的，或者从它们正确地导出的推论之间的矛盾看起来与常识矛盾或者对立的，然而可能是正确的命题从错误的开始或错误的推理中得到的错误的骇人听闻的结论事实上，人们就是这样，在一开始不确定的时候，把这类奇怪的命题统称为悖论。在深入研究辨明命题真伪后，为悖论定

2、性的以上几个称呼产生了。历史上就有很多著名的数学悖论，他们的影响是巨大而深远的（不过话说回来，如果悖论不够经典，也就没法流传下来）。像芝诺悖论，理发师悖论（即罗素悖论）等等。悖论的产生是一种非常有趣的数学现象和历史文化现象。从宏观的思维活动上讲，它是人类理性思维的自我反省的表现，或者叫做“有条理的怀疑主义”。因为只要有理性思维，就会有反思，所以，悖论虽不是一门单独的学科，却是数学发展的必然产物。悖论并不一定要极为深刻，富有冲击力，它也可以很小，离你很近，让你有所回味，有所感悟。这个图本身就是一个矛盾。构成五星的是有体积的“直杆”，以图示的形式互相叠着，

3、本身就是不可能的。考虑两根直杆的接触点，一共有５个，由对称性可以知道它们在同一平面上恰为正五边形的顶点，于是在图中相交的两杆，事实上是完全的“异面”的。亚里士多德的轮子悖论如图，轮子上有两个同心圆，轮子滚动一周，从A点移动到B点。这时，

4、AB

5、相当于大圆的周长，此时，小圆也正好转动一周，并走过了长为

6、AB

7、的距离。这表明，小圆的周长也是

8、AB

9、！由此我们甚至可以推论，所有的圆都是没有半径的点！轮子滚动一周　＝＞　大圆周长＝

10、AB

11、小圆走过的长为

12、AB

13、的距离正好转动一周＝＞　小圆周长也是

14、AB

15、大家觉得问题在哪里呢？事实上，最后一个推导是错误的。这说明

16、，小圆是怎样被带着走了长为

17、AB

18、的距离。所以

19、AB

20、不能代表它的周长。以上是一个谬论另一个盒子ANOTHERBOX在你面前，有两个封闭的盒子，每个盒子里都有一定数量的钱。这些钱当初是按以下规律放进去的：连续抛掷一枚质量均匀的硬币，直到它落下来反面向上为止。如果连续掷了N次落下来都是正面向上，到第N+1次才反面向上，则在一个盒子里放3美元，在另一个里放美元。现在，允许你打开其中的一个盒子，数一数里面有多少钱。你可以把这些钱放进你的口袋，也可以改变主意，拿走另一个尚未打开的盒子里的钱。你该怎么办？很显然，如果你打开的盒子里只有一美元，那你应该拿走另一盒子

21、里的3美元。现在，假定你打开的盒子里有美元，那么，另一个盒子里将有着美元或美元。由于在第一次出现反面时则停止，那么投了k次，可能性为只有两种可能：ⅰ共投Ｎ次(前Ｎ-１次投正，再投一次反)，盒子里分别有　美元和美元，可能性为看到美元和美元的可能性均为　　　　　。ⅱ投Ｎ+1次(前Ｎ次投正，再投一次反)，盒子里分别有美元和　　美元，可能性为　　　　。看到美元和　美元的可能性均为　　　　　。于是看到　美元的总可能性为另一个盒子里将分别以2/3和1/3的可能有着美元和　　美元。于是你换一个盒子可能得到的钱的平均值为因此改取另一个盒子里的钱，就可使你所可能得的钱比

22、一开始看到的多。假定你是一个按数学行事的人，这就是你将采取的行动。但是现在既然你已事先知道你总要该取另一个盒子里的钱，那么就没理由浪费时间去打开一个盒子并数里面的钱了！你应该一开始就直接选“另一个盒子”。然而，用同样的道理也可证明，无论你选哪一个盒子，从数学的计算上看，你还是选另一个盒子为好！感悟数学思想学习数学文化体会数学乐趣谢谢大家！！打败赌场老板BEATTHEBOSS在某个娱乐性赌场，人们可以玩这样一种赌博游戏。赌场老板公布一个正整数N。在这个赌博中，掷一枚质量均匀的硬币直到它反面向上为止这件事是由你这位赌徒来做的。如果你掷了N-1次，你就输给老

23、板8~(N-1)美元，但如果你掷了N+1次，你就从老板那儿赢得8~(N+1)美元。所有其他情况都算平手。因为恰好掷了k次的概率是(1/2)~k，你所赢钱的期望就是8~N/2~(N+1)-8~(N-1)/2~(N-1)=4~(N-1)(N>1)或2(N=1)，因此，你所赢钱的期望，也就是老板所输钱的期望，是一个正数。但是现在发现赌场老板原来是这样来确定N的：他也是掷同一枚质量均匀的硬币，直到它反面向上为止，很显然，如果你打开的盒子里只有一美元，那你应该拿走另一盒子里的3美元。现在，假定你打开的盒子里有美元，那么计算概率容易知道，另一个盒子里将分别以2/3

24、和1/3的概率有着美元和美元。于是你换一个盒子所能得到的钱的数学期望是因此改取另一个盒子里的钱