国立台南大学数学教育系

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1、角度國立臺南大學數學教育系謝　　堅◎角vs角度◎何謂角?◎何謂角度?◎角和角度有何異同?◎角屬於幾何圖形的教材。角度屬於量與實測的教材。角和角度討論的重點不相同。◎角討論的重點是已存在的角形，包含頂點、邊等構成要素。角度討論的是如何將角形張開或旋轉的程度數量化（張開或旋轉的量是多少）。◎角是一個固定的幾何圖形。角度是一個張開或旋轉的動作。（只見到結果）◎學習角度有那些幫助？◎為學習幾何學、三角測量等舖路◎透過方位概念溝通位置。◎以ｘ軸正向為基準：極坐標的概念Ａ（5，40度）。Ａ40度ｏOA＝5◎以時鐘心像為基準：二點鐘方向，50公尺處。12936◎以水平線

2、（面）為基準：仰角（俯角）30度，500公尺處。◎圖形角vs張開角vs旋轉角◎何謂圖形角？何謂張開角？何謂旋轉角？◎圖形角、張開角、旋轉角有那些異同？◎如何幫助學童建立圖形角的意義◎數學上，角是共端點的兩條射線的聯集，但是在國小階段，並不單獨討論角，討論的圖形角常隱藏在幾何圖形之中。◎國小階段討論的圖形角是由相交於一點的兩條線段所構成，兩線段稱為角的邊，交點稱為角的頂點，而頂點、邊和角，都是平面幾何圖形的構成要素。◎圖形角偏向平面幾何圖形的教材◎國小階段討論的圖形角只是頂點附近的範圍，因此構成邊的兩線段長度不拘。◎圖形角是由相交於一點的兩條線段所構成，並不

3、包含其內部。◎圖形角可以複製，可以透過小角包含在大角內部的現象比較兩個圖形角的大小，但是，當學童尚未掌握張開程度或旋轉程度的意義之前，沒有比較兩圖形角大小的需求。◎下面這兩個圖形角是否相等？◎上面這兩個圖形角是否全等？◎上面這兩個圖形角是否相似？◎如何幫助學童建立張開角的意義◎張開角指的是共端點兩重合線段張開的結果，因為張開後的形狀是一個圖形角，故稱之為張開角。◎張開角的角度指的是張開的程度，選定單位量後，可以把角張開的程度數量化。◎張開角（張開結果的記錄）和圖形角的形狀相同，故而都稱之為角，但是必須透過張開程度的想法，這個角才有測量角度(張開的程度)的需

4、求◎透過扇子的開與合，再加上張開程度結果的記錄，比較容易引入張開角的概念，讓兩個角可以比較張開程度（量）的大小。◎為什麼學童常透過邊的長短、扇形面積的大小、弧的長短等特徵，來比較兩個角張開程度的大小？◎如果學童只看到張開角張開後的結果，沒有看到張開的過程，學童無法理解張開程度的意義。◎教師一定要透過實作，讓學童經驗張開角張開程度的意義。◎可以透過同時操作兩把扇子（一把的兩個邊比較長，另一把的兩個邊比較短），讓學童排除邊的長短、扇形面積的大小、弧的長短等因素，將注意力放在張開程度上。◎二個角可以相加減嗎?二個角度可以相加減嗎?◎透過張開程度的想法，張開角可以

5、比較大小（小於180度），但是透過張開角討論角度的合成與分解並不自然。◎如何幫助學童建立旋轉角的意義◎旋轉角是指一條線段繞一個端點旋轉的結果，如果將旋轉前、後的線段及端點記錄下來，它的形狀也是圖形角，故稱之為旋轉角◎旋轉角的角度指的是旋轉的程度，選定單位量以及旋轉方向（順時針或逆時針旋轉）後，可以把旋轉的程度數量化（整數概念，使用＋、－號區分旋轉方向，例如＋50度、－40度）。◎為了讓學童瞭解旋轉活動，畫旋轉角時應該包含始邊、終邊、頂點（旋轉的支點）以及旋轉的方向。◎透過時鐘上長短針的轉動，再加上旋轉活動的記錄，比較容易引入旋轉角的概念。◎旋轉角的角度是一

6、個向量，可以是順時針方向，也可以是逆時針方向的旋轉。◎在國小階段可以談論順時針及逆時針兩種旋轉現象，但是不涉及正、負角度的概念。◎旋轉角的角度可以超過180度，在國小階段以不超過360度為限。◎高中三角函數引入的角是旋轉角概念，角度可以是任意的整數。◎在兩次連續旋轉（同向或逆向）的情境下，可以很自然的引入角的合成與分解。◎直接比較vs間接比較個別單位比較vs普遍單位比較◎圖形角可以想像成張開的結果，也可以想像成旋轉的結果。◎如何進行張開角的直接比較？◎一個張開角，完全包含在另一個張開角的內部，也就是說，包含在另一個角內部的角，張開的程度比較小（也可以重疊一

7、邊，再比較另一邊，判斷那一個角的張開程度比較小）。◎如何進行旋轉角的直接比較？◎國小階段，只比較兩個角旋轉的程度，不涉及旋轉的方向。◎如果兩個角旋轉的方向相同，可以將兩個角的始邊重疊，比較那一個角的旋轉量比較大。◎如果兩個角旋轉的方向不同，可以將旋轉程度量化（個別單位）後，再比較旋轉量的大小。◎如何進行張開角、旋轉角的間接及個別單位比較？◎當學童面對圖形角時，必須有張開程度或旋轉程度的概念，比較兩個角角度的大小，或描述某一個角的角度是多少才有意義。◎如果沒有特別要求，學童可以透過張開程度或旋轉程度的概念，比較兩個角的大小，也可以透過張開程度或旋轉程度的概念

8、，描述某一個角的角度是多少。◎選定張開或旋轉的個別單位，就可以將張