国立台南大学数学教育系

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1、因數vs倍數國立臺南大學數學教育系謝堅「2」是不是「0.1」的倍數？「4」是不是「2」的倍數(2倍)?「2」是不是「4」的倍數(0.5倍)？倍數有兩種意義:兩個數量之間的(倍數)關係：例如：0.2的10倍是2，2是4的0.5倍，這種倍數關係是比值的概念。整數的因數與倍數：例如：12、24、60都是6的倍數。討論兩個數量的倍數關係時，這兩個數量可以是分數、整數或小數。這兩個數量也可以有分數倍、整數倍或小數倍的關係。0.2公斤是0.5公斤的0.4倍。5倍是比值的概念：甲是乙的5倍，指的是當基準量乙為1時，比較量甲是5。5倍是等

2、價類：10是2的5倍，7是1.4的5倍，2是2/5的5倍，2.5是0.5的5倍。何謂因數？何謂倍數？人們為什麼要發明因數與倍數？學會因、倍數對我們有那些幫助？數學上因、倍數的定義：ａ是ｂ的因數(ｂ是ａ的倍數)ａ，ｂ都是整數。ａ≠０。存在一個整數ｑ，使得ｂ＝ａ×ｑ。為什麼要規定ａ≠０？(整數)的因數與倍數：想要透過整數的乘法性結構來探討整數之間的關係。針對一個整數12：2可以乘法性的組成12，所以2就是12的因數。12可以乘法性的組成24，所以24就是12的倍數。「0」是不是偶數？「0.2」是不是偶數？「3.0」是不是偶

3、數？何謂奇數？何謂偶數？數學上如何給奇、偶數下定義?2的倍數就是偶數，不是2的倍數的整數就是奇數。０是不是２的倍數？b=a×q(a=2，b=0，q=0)國小、國中、高中階段如何定義奇數與偶數？因數問題是指定一個正整數，詢問以哪些正整數為單位量，可以乘法性地合成這個指定的正整數。12個蘋果想要分裝成幾袋，讓每一袋的蘋果一樣多，可以有那些分法?可以分成多少袋?每一袋可以有幾個蘋果?2袋、2個蘋果，那個是因數概念?以2(個蘋果)為單位量，可以乘法性地合成12(個蘋果)，所以2是12的因數。以5(個蘋果)為單位量，不可以乘法性地合成1

4、2(個蘋果)，所以5不是12的因數。2可以乘法性組成12(2的6倍是12)，因此2是12的因數，此時6也是12的因數嗎？有那些能力後學童可以理解2是12的因數，6也一定是12的因數?倍數問題是指定一個正整數做為單位量，詢問以此正整數為單位量可以乘法性地生成哪些正整數。以12為單位量，可以乘法性地合成24、36，所以24、36都是12的倍數。教師應澄清倍數的二種意義。如何引入因數與倍數?國小階段如何定義因數與倍數?國中階段如何定義因數與倍數?高中階段如何定義因數與倍數?國小階段：分別引入因數與倍數的意義，再幫助學童發現兩者間的關

5、係。高中階段：只定義一次，將因、倍數視為相同的意義，ａ是ｂ的因數，也可以說ｂ是ａ的倍數。國中階段：如何引入因、倍數的定義較恰當？何謂質數？何謂合數？人們有了因數概念後，為什麼還要引入質數？引入質數有那些幫助？為什麼1不是質數?可以由加法性結構來討論二個數的關係，也可以由乘法性結構來討論二個數的關係。例如：6比2大4。6是2的3倍。可以由加法性結構來討論一個數的組成方式，也可以由乘法性結構來討論一個數的組成方式。由加法性結構討論一個數的組成：12是由12個1合起來組成的。38是由30和8合起來組成的。42是由4個10和2個1合起

6、來組成的。國小中、低年級的學童，比較習慣由加法性結構來探討一個數的組成關係。由乘法性結構討論一個數的組成：12是由2個6合成的。12是由4個3合成的。12是由2×2×3組成的。3和6等都是乘法性組成12的元素，也就是12的因數。2和3是乘法性組成12的基本元素，也就是12的質因數。高年級開始學習因數與倍數，以及比與比值希望學童能由乘法性結構來探討整數之間的關係。暫行綱要只討論兩個數之間的關係，也就是說，只討論那些因數可以乘法性的組成12，12可以乘法性的組成那些倍數。當學童能掌握由乘法性組成元素來討論一個整數的意義時，可以開始

7、引入乘法性組成基本元素(質數)的概念。因數是組成一個整數的元素，質數是組成一個整數的基本元素。暫行綱要在國中階段才開始討論那些基本元素（質數概念）可以乘法性的組成一個數，更方便的探討整數之間的關係，讓解題更有效率。國小階段只討論12與一個數的關係：12÷6＝2，6是12的因數。12×2＝24，24是12的倍數。國中階段開始討論12是由那些基本元素（質數概念）乘法性組成。12＝2×2×3開始討論因數與倍數。請區分下列名詞的意義：因數分解vs質因數分解樹狀圖vs短除法因數vs質因數質因數分解法vs短除法因數分解是尋找一個整數的乘法

8、性組成元素，而質因數分解是尋找一個整數的乘法性組成基本元素。12＝3×4　　　　12＝2×2×3＝2×61不是質數＝1×121是12的因數利用質因數分解，就能夠透過乘法性的基本元素(質數)來判斷兩個整數是否相等，或透過兩個整數間基本元素的關係，更有效率的找出(最大)公因數或(