2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质练习（含解析）新人教B版

《2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质练习（含解析）新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2.2　双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则它的离心率为(　　)A.43B.53C.2D.3解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e=53.答案:B2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　　)A.x24-y24=1B.y24-x24=1C.y24-x28=1D.x28-y24=1解析:由方程组a=2,2a+2b=22c,a

2、2+b2=c2,得a=2,b=2.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的标准方程为y24-x24=1.答案:B3.过点(2,-2)且与x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为(　　)A.-x24+y22=1B.x24-y22=1C.-x22+y24=1D.x22-y24=1解析:由题意可设双曲线方程为x22-y2=k(k∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程为-x24+y22=1.答案:A4.F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形

3、,则双曲线C的离心率为(　　)A.1+2B.2+2C.3-2D.3+2解析:△PF1F2为等腰直角三角形,又

4、PF1

5、≠

6、PF2

7、,故必有

8、F1F2

9、=

10、PF2

11、,即2c=b2a,从而得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解之,得e=1±2,∵e>1,∴e=1+2.答案:A5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m=(　　)A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点为0,13,一条渐近线为3y-mx=0,由题意,知132+m

12、2=15,解得m=4.答案:D6.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为　　　　　;渐近线方程为　　　　　. 解析:∵椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(4,0),(-4,0),∴双曲线的焦点坐标也为(4,0),(-4,0),∴c=4,又ca=2,c2=a2+b2,∴a=2,b2=12,∴双曲线的方程为x24-y212=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x,即3x±y=0.答案:(4,0),(-4,0)　3x±y=07.双曲线y2

13、25-x216=1的渐近线方程为　　　　　. 解析:利用公式y=±abx可求得渐近线方程为y=±54x.答案:y=±54x8.若双曲线x2k+4+y29=1的离心率为2,则k的值是　　　　　. 答案:-319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-2),离心率e=52;(2)F1,F2是双曲线的左,右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°,S△PF1F2=123,离心率为2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设x2a2-y2b2=1为所求.由e=52,得c2a2=54.①由点P(3,

14、-2)在双曲线上,得9a2-2b2=1.②又a2+b2=c2,③由①②③,得a2=1,b2=14.若双曲线的焦点在y轴上,设y2a2-x2b2=1为所求.同理有c2a2=54,2a2-9b2=1,a2+b2=c2.解之,得b2=-172(舍去).故所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1,因

15、F1F2

16、=2c,而e=ca=2,由双曲线的定义,得

17、

18、PF1

19、-

20、PF2

21、

22、=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=

23、PF1

24、2+

25、PF2

26、2-2

27、PF1

28、·

29、PF2

30、·co

31、s∠F1PF2=(

32、PF1

33、-

34、PF2

35、)2+2

36、PF1

37、·

38、PF2

39、·(1-cos60°),∴4c2=c2+

40、PF1

41、·

42、PF2

43、.又S△PF1F2=12

44、PF1

45、·

46、PF2

47、·sin60°=123,∴

48、PF1

49、·

50、PF2

51、=48.由3c2=48,∴c2=16,得a2=4,b2=12.∴所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.★10.如图所示,已知F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于

52、双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,故只需求出ba的值即可,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解:方法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)代入方程得y0=±b2a,∴

53、PF2

54、=b2a.在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴

55、F1F2

56、=3

57、PF2

58、,即2c=3·b2a.又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.∴ba=2.故所求双曲线