（山东专用）高考数学一轮复习专题19三角函数的图像与性质（含解析）

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1、专题19三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xx≠kπ＋}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π

2、，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无[微点提醒]1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.二、【典例精练】考点一　三角函数的

3、定义域、值域(最值)【例1】(1)函数y＝lg(sinx)＋的定义域为________.(2(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为(　　)A.4B.5C.6D.7【答案】(1)　(2)B【解析】　(1)函数有意义，则即解得所以2kπ

4、等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).考点二　三角函数的单调性　角度1　求三角函数的单调性【例2－1】已知函

5、数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R).(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】　(1)由sin＝，cos＝－，f＝()2－－2××，得f＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin，所以f(x)的最小正周期是π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).所以，f(x)的单调递增区间是(k∈Z).角度2　已知单调性求参数【例2－2】(2018

6、·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)A.B.C.D.π【答案】A【解析】　f(x)＝cosx－sinx＝cos，由题意得a>0，故－a＋<，因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，所以解得0

7、的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　角度1　三角函数奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π

8、，最大值为4【答案】B【解析】　(1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.【答案】【解析】　由于对任意的实数都有f(x