（山东专用）高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理（含解析）

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1、专题16定积分与微积分基本定理一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积

2、式.(2)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜

3、b).3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).[微点提醒]函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.二、【典例精练】考点一　定积分的计算【例1】(1)(cosx＋1)dx＝______

4、__.(2)（2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则．【答案】　(1)π　(2)【解析】(1)(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)＝π.(2)【解析】，解得．【解法小结】　运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.考点二　定积分的几何意义　角度1　利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】(1)计算：(2x＋)dx

5、＝________.(2)（2013福建）当时，有如下表达式:两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：=．【答案】　(1)＋1　(2)【解析】　(1)由定积分的几何意义知，dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，所以dx＝，又2xdx＝x2＝1，所以(2x＋)dx＝＋1.(2)由两边同时积分得：从而得到如下等式：=．答案角度2　利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】（2014山东）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由得，、

6、或（舍去），直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．【解法小结】　1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).考点三　定积分在物理中的应用【例3】(1)物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B

7、所用的时间t(s)为(　　)A.3B.4C.5D.6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N).【答案】　(1)C　(2)342【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5.整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.(2)变力F(

8、x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J).【解法小结】　定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的位移s＝v(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从