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《数学学年论文毕业论文函数解析的充要条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数解析性的充要条件［摘要］本文介绍了函数在区域D内解析的四个充要条件，得到了用指数形式表示函数解析的充要条件。［关键词］复变函数解析性充要条件我们在课本上学习了复变函数在区域D内解析的四个充要条件，他们是1：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微。(2)u(x,y),v(x,y)在区域D内满足C一R条件。2：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是⑴在D内连续。(2)ii(x,y),v(x,y)在区域D内满足C一R条件
2、。3：函数f(z)在区域D内解析的充要条件是(1)f⑵在D内连续。(2)对任一围线C,只要C及其内部全含于D内，就有⑵=0.4：函数f(z)在区域D内解析的充要条件是f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幕级数，即泰勒级数。由于上述四个定理在课木上都基木上给岀了证明方法，在此我们不再证明，只将C—R条件略作证明。若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z处可导，根据导数定义⑵=limA2->0/(z+Az)-/⑵△z(1)设Az=Ar+/Ay,/(z+Az)-/(z)=Aw+iAv,其中Aw=u(x+Ar,+Ay)-w
3、(x,y),Av=v(x+Ar,y+△)；)—v(x,y)。⑴式变为"巳磴掾Ay->0因为Az=ZLr+/Ay无论按什么方式趋于零时，(2)式总是成立的，I大I此我们先令Az沿着平行于实轴的方向趋于()，此时(2)式变为“—Au.Avdu.dv于⑵p卯茨廿左r忘七乔再令Az沿着平行于虚轴的方向趋于零，此时(2)式变为uAv⑵"出?圧+心2.Qu8v-i——+—•dydy于是在(x,y)点u(x,y),v(x,y)应满足字=単=-?・oxdydyox在实际的学习中，有时我们会遇到用指数形式表示的函数，如果将Z变为直角坐标形式，尽
4、管直观，但是运算比较烦琐。下面我们介绍用指数形式表示的c-R条件，为判断复变函数的解析性提供了另一•种方法。定理1设函数f(z)=u(r,0)+iv(r,0)在区域D内有定义，z=iH0是D内任意一点，若f(z)在点z处可导，则u(r,0)与v(r,0)满足C一R条件：du1dvdv1du口、砧巳㈱出£、*Qu,dv.e~l°.dv.du.忘「丽W"；丽』f⑵的导数为/⑵"(訂分)=〒(丽一方)证明因为f(z)在点Z处可导，所以由导数定义，有/(z)=limAz->0/(z+Az)-/(z)AzlimMtOAw+/Av(厂+8)严
5、呦一/其屮Am=w(r+Ar,^+A0)-w(r,^)5Av=v(r+Ar,0+A0)-0).Az以任意方式趋于0时，因此可以选取两条特殊的路径使“T0O当Az沿圆周趋于零,即Ar=O,0=厂0你呦-严)时，有疋(、丫・Aw+/Av_1#Aw+zAv1巫竺7刁Toiav.idu7^~dO~l~^~dO当Az沿直线趋于0时，即△/9=0,Az=reld时，仃C)TimA2->0Aw+ZAv1du.15v+1iOai0cJedreor二广[I1du.dv_1dv.1dv竺/人壬oudvdv_1duel°drel°drrel°d0r
6、el°d0drrd0drrd0.上述条件称为c—R条件它是函数f(z)在一点h0可导的必要条件，它只能保证Az按两个特殊方式趋于零吋，仝仝m趋于同一个常数却不Az能保证X按其它方式趋于零时也趋于这一常数，I大I为不能保证f(z)在这一点一定可导。定理2设函数于⑵=心,0)+讽厂,&)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=加—0可导的充要条件是：呛,0)与呛,0)在点(几0)可微,且满足C—R条件。证明必要性I大I为f(z)在D内一点z可导，所以纣⑵=jT⑵&+心，其中lim^=0-&t0令于⑵=a+"，△£⑵=Aw+zAv,则
7、Ah+ZAv=(a+ib)(r+严沁°'-rel°]+(1)乂因为口占关于r,&可微，所以Az=(厂+△门严心)一rei0=ei0r+ire,oO+&(2)其屮“G_八(2)代入(1)式得limI.—-0，Am+/Av=(acos0-/?sinAr-(arsin0+brcos+i[(asin&+bcos^)Ar+(a厂cos0一brsin&)△0]+(a+ib)&+cz(3)因为
8、rA6>kJ+M~+M』△/+△&'+J“+a矿k.l所以limAr->0(d+ib)6+Eg_0Vaf2+A6>2即Re[(a+ib)g+6A
9、z]和Im[(a+ib)g+丛刃都是W的高阶无穷小,有(3)式得Am=(acos&-bsin&)zV—(。厂sin&+/?厂cos&)A0+Re[(d+ib)&+szAv=(Qsin&+bcos&)/V+(drcos&—brsin&)Z&+I
