数学分析试题一

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1、(三十二)数学分析试题(二年级第一学期)一叙述题(每小题10分，共30分)1叙述含参变量反常积分f(x9y)dx-致收敛的Cauchy收敛原理。2叙述Green公式的内容及意义。3叙述n重积分的概念。二计算题(每小题10分，共50分)1.计算积分/=其中C为椭圆2x2+3y2=f沿逆时针方向。2.已知z=f(xz,z-y),其中/(w,v)存在着关于两个变冗的二阶连续偏导数，求z关于无,y的二阶偏导数。2223.求椭球体二+务+二=1的体积。/b2c24.若/为右半单位圆周，求J

2、yld$。5.计算含参变量积分1(

3、a)=£(l-2acosx+a2)dx(a<1)的值。三讨论题(每小题10分，共20分)1若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值…致收敛。试讨论积分1+a2x在每一个固定的Q处的一致收敛性。2讨论两数F(y)¥7必的连续性,具屮/(x)在［0,1］上是正的连续函数。数学分析试题(二年级第一学期)答案1一叙述题(每小题10分，共30分)1含参变最反常积分^f(x,y)dx关于y在［c,d］上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的£>0,存在与y无关的正数A。，使得对于任意的AA>Ao,

4、£f(x,y)dx<£、yg［c,d］成立。2Green公式：设D为平而上山光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数P(x,y),Q(x,刃在D上具冇连续偏导数，那么其中dD取正向,即诱导正向oGreen公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3.设Q为/?"上的零边界区域，函数u=/（X）在Q上有界。将Q用曲面网分成〃个小区域△QpAQ2,...,A£1w（称为Q的一个分划），记A匕为AQ,的体积,并记所有的小区域AOj的最大直径为几。在每个AO,上任取一点旺，若几趋于零时，

5、和式/=!的极限存在且与区域的分法和点兀的取法无关，则称/（x）在G上可积，并称此极限为/（兀）在有界闭区域。上的川重积分，记为1=fdV=hm^f（P^Vi0QTf=l计算题（每小题10分，共50分）解令/：；v=〈icos/,y=-sinr,3•2-ydx+4y2(cos2/+sin?t)dt=■兀.xdy-ydx*3x2+4)2解令u=xz,v=z-y,则8udzdvdz&=Z+XF*—二—dx，dxdx8udz一=x一空丄-1.dydy，dydydz,dfdudfdv——=Fdxdudxdvdx8z_dfd

6、udfdv———i~dydudydvdy62zdx2、2dfd2ut82f(duY

7、a2v

8、d2f(dvdudx2du2Ifix丿dvdx2dv2丿82zdfd2ud2f(du^Su2&丿dfd2vd2f(dv+Fdvdy2、25v2⑺丿d2zdfd2ua2/=1dxdydudxdydu^(dv}<5x>©）dfa2va2/ovoxoydvd2z_dfd2u+d2f(dx2dudx2du21J丄贰+兀—7dxdx~=釦2乞dud2z_dfd2udy2dudy2du2£l沪丿du2Id2f(duy5w24丿d2f(空加

9、2n丿d2fdv2、2dx)2。+輕+dvdy2++dvdy2'加、"6u、6丿4丿Sfd2v+讨d2z_dfd2u62/dx6ydudxdydu2+色业+卫dvdxdydvd2f(dzX+dv2df(dv^Sv2l勿丿dfd2zd2f(dzdv2、21(dv}6丿©丿2=釘乞6u(dyd2fdz(5£_jdv2)3解由于对称性，只需求出椭球在第一•卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换dxdy)8u2dr人dyndvdxdyx=arcos0,y=hrsin0(cz>0,/?>0,0

10、^)o这时椭球面化为于是I(〃cos&)2(b厂sin。)?Z=caT2b2]=c71-r2oDE)X。★acosO/?sin0-arsin0brcos0所以椭球体积=JJz(兀,y)dcr°,=jjz(M)D(x,y)DZdrddn=f』cjl-厂$•abrdr=—abc=-abc^(—丄Jl_厂2)d(l-r2)2)2[r71-r2drV=—mbco34解/的方程为：x2+y2=l,x>0.由y'ds=土J]+y?'x=±符号的选取应保证ds>0,在圆弧段AC±,x2+y2dx由于dx〉0,故dsdxIfij在圆

11、弧段CB上，由于dx<0,故fdxds=所以fACdxdx-dx=2o5解1(a)=£ln(l-2acosx+。当a<1lit,由于1—2cicosx+a$n1-2c"+a~=(1-[a])?>0,故ln(l-2acosx+a2)为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。itr-2沁+2_山l—2acosx+a~ifl宀1、91一2ac