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1、专题讲座「•八复数(主讲人：向茂华)知识归纳一、知识点梳理:1、i的周期性：i4=l,所以,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n=l.(/?eZ)严+严+1+产+2+厂”+3=0(〃z)2、复数的代数形式：a+bi(Q,bGR),a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。C={a+hia,beR]叫做复数集。NSZSQ^R^C.3、复数相等：a+bi=c+dia=cjlb=d:q+加=0oa=0且b二0实数(b=0)4、复数的分类:复数Z=a+hi虚数(bH0』一般虚数山工0卫工0)工[纯虚数(bH0卫=0)虚数不能比鮫大小
2、，只有等与不等。即使是3+,,6+2,也没有大小。z=a-^-bi=J/+，.5、复数的模：若向量龙表示复数z,则称矽的模「为复数z的模,积或商的模可利用模的性质(1)
3、z「・・z”
4、=
5、zj・
6、zj••…
7、z”
8、,(2)玉申(甜0)Z2
9、Z2
10、6、复数的几何意义：复数z=a+bi(a,bwR)〈对应〉复平血内的点Z(q,b)一一对应_„复数z=d+加㈠平面向量0Z,7、复平而：这个建立了总角朋标系来表示复数的处标平而叫做复平而，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴・，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算
11、复数Z］与z2的和：Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(ci,b,c,dGR)复数zi与z2的差：zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(a,b,c,dGR)复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的儿何意义：复数zpa+bi,Z2=c+di(Q,b,c,〃w7?)；OZ=0Zt+OZ0=(a,b)+(c,d)二(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i复数减法的儿何意义：复数zh2的差(a—c)+(b—d)i对应•山于石N=OZ{-OZ2,两个复数的差z-z,与连接这两个向量终点并指向被
12、减数的向量对应.9.特别地,z—=Zb_za.・z-^=
13、^5
14、=
15、zfi-zA为两点间的距离。
16、z-zj=
17、Z-Z2
18、z对应的点的轨迹是线段ZZ2的垂直平分线；Iz-Zo
19、=r,Z对应的点的轨迹是一个圆;z-zl+z-z2=2a^ZlZ^<2a'jfz对应的点的轨迹是一个椭圆;z-zx-z-z2
20、
21、=2^7(
22、ZiZ2
23、>267),z対应的点的轨迹是双曲线。
24、
25、z」-
26、z2
27、
28、s
29、Z
30、±Z2
31、s
32、zJ+
33、z2
34、10、显然有公式：p
35、2/,.2
36、
37、Z1+Z2〔+
38、可一匂
39、=2(
40、zJ+0211>复数的乘除法运算：复数的乘法:ziZ2
41、=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i.(a,b,c,d丘R)复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。*mnm+n实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对zfz2，z3ec及m,nWN有：zz=z,mnmnnnn(z)=z，(zp)=Zjz2•复数的除法：玉=(a+bi)一(c+di)二乞也二罕算+算二算i(a,b,c,dwR),分母实数化是常规方法z2c+dic2+d2c2+d2'712、共轨复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轨复数；特别地,虚部不为0的两个共轨复数也叫做共
42、轨虚数；z=a+bi,z=a-bi(a,bG7?),两共轨复数所对应的点或向量关于实轴对称。z=
43、z
44、=-Ja2+Z)22—Z=Z=Zz-z=a2+b，eR,z・2,Z,±Z2=Z,±Z2,Z]・Z2=Z]・Z2,ziZ213、熟记常用算式：-=,(1+z)22i,(1-z)2=-2i,1-/•=_11+/14、复数的代数式运算技巧:1+z(1)①(1+沪="②(1-02=-2z③l-jl-z=.④1+厂3亠邑(2)"1”的立方根22的性质:①/=1②沁=CD③l+e+e，=01a)+—④31一—=co⑤015、实系数一•元二次方程的根问题:(
45、1)当A=A2-4ac>0吋，方程有两个实根x^x2□(2)当4=，—4qcv0时，方程有两个共轨虚根，其中“=兀2。此时有-b±V-Az2a注意两种题型:(1)lx.-xj(2)
46、X1
47、+
48、x2虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知
49、x2—x」是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求
50、x2-X1
51、的方法：（1）当△=b_—4gcn0时,（2）当△=，一4qc<0时,J4ac-b?—则
52、兀2
53、+
54、心
55、x}+x2
56、②%!-x2v0,即£v0,a则兀2+X]J（X]+孔）2—4兀]兀2
57、="4"
58、x2-X{=J（X]+花）2-4兀]兀2=己知XpX?是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求x2+
