历届华杯赛决赛试题剖析--第一讲(第十四届)

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1、历届华杯赛决赛试题剖析第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）感悟心得真题尝试-、填空题（每小题10分，共80分）t、丄幽2008+2007x20092009+2008x20101.计算：+=—2008x2009-12009x2010-1答案：（2）考点：分数的计算，换元法；解：-•般地5-1）5+1）=^£^=],故原式辺；ax（6/+1）-1cr+a-12.如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4x4方格屮，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个；答案:（64）考点

2、：计数问题;解：每个1x3的长方形中有4个这样的直角三角形，转化为在4x4的方格中有多少个1x3的长方形，共有2x4x2=16个，根据乘法原理得到16x4=64个;3.将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924...”删去这个屮所有位于奇数位（从左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删F去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是:答案：（3）考点：操作问题；解：对于一排数，每次删除奇数位上的数字，如果开始冇2"个数，那么最后剩下一个数就是

3、2”,考虑先删去几个数，使得剩下2〃个数,可得需要删去2009-1024=985个删去985个数，接下来的就是最后剩下第一个数，它在开始时是第2x985=1970,根据数的排列周期,这个数相当于循环节中的第3（1970一7=283…3）个，也就是3。当然也可以记住公式：g个数，按题目要求删去数，最后剩下的一个数在笫2@-2”）位其中2“是小于a最大的2的次数数；（经得起被2连续整除的数才能C留下来，这种方法可以推广到被3整除等）。如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形屮,直线/将原图形分为面积相等的两部分，/与AB的交点为

4、E,与CD的交点为F,若线段QF与线段AE的长度之和为91屈米，那么小正方形的边长是M米；答案：（26）考点：面积的分割；标笊•的能表示，就能计算的思想、解：设每个小正方形的边长感悟心得真题尝试7门21为a,那么由梯形AEFD的面积得到一=—X91x心=26；225.某班学生要栽一批树苗，若每个人分配鸟棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有名学牛；答案：(41)考点：盈亏问题；能表示就能计算U!解：首先k是小于9的口然数，由盈亏问题，人数为(38+3片(9-町=芒名，根据整除性，41是质数，约数

5、只有1、41,那么R=8,人数为上-=41名；9-86.已知三个合数A、B、C两两互质，_FI.AxBxC=11011x28,那么A+B+C的最人值为;答案：(1626)考点：质数与合数；OOV☆OOO☆OOO☆OO▽Oaoc☆bbbdaabdaaca36504193736l§)3419■37解:AxBxC=11011x28=22x72xll2xl3,为使得三个合数的和最大，只需一个数尽可能大，其它两个数尽可能小，得到4+49+1573=1626；7.方格中的图形符号“◊”、“O”、“▽”、“☆”代表填入方格内的数，相同的符号表

6、示相同的数。如图3所示,若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和是；答案：(33)考点：数阵图问题；a=Sb=2c=13d=5解：如图设未知数，贝叽3d+b=363d+c=373b+d=412b+2c=50那么2a+b+d=2x8+12+5=33；8.已知1+2+3+...+畑2)的和个位数字为3,十位数字为0,则n的最小值为答案：(37)考点：余数问题；解：/?(/?+1)=03(mod100)«(/?+1)=06(mod100),连续两个数的积的末位为23的可以是2x3

7、,也可以是7x8。当为2x3时,〃最小为42；当为7x8时,料最小为37。综上所述，得到n最小为37。真题尝试感悟心得二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.六个分数丄丄丄，丄,丄,丄的和在哪两个连续自然数Z间？23571113答案：（1〜2）考点：分数估算；解：』显+丄+丄+丄+丄+丄<丄+丄+丄+丄+丄+丄<丄+丄+丄+丄+丄+",13236131313235711132356555所以在1〜2之间；10.2009年的元旦时星期四，问：在2009年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期口？答案

8、：（10；3、5、8、11）考点：日历问题；解：（略）发现有如下规律：/、把每月天数求7余数，若前几月7余数的和是7的倍数、下月便是新周期,故下月1日便是星期四。2、若冇五个星期LI,首先刀天数至少29天。若29天则此刀1L1必是星期LI;若30天，则此刀一、二