高等数学-1-补充材料-1

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1、sinxlimXT°X.•sinxlim“TOOXX)X—>00♦当加、兀为非负整数，且aoH（）,方0工（）时，X—>00—*0,oo,n

2、点♦对一元函数而言，可微O可导n连续n可积.♦微分中值定理定理条件结论罗尔定理①/(X)在［d,b］上连续②/⑵在内可导®f(a)=f(b)至少存在一点弘(a,b),使得厂©=0拉格朗日定理①/(x)在阪盯上连续②/(兀)在S,知内可导至少存在一点gg(a,b),使得ba柯西定理①/(工)，g&)在［偽〃］上连续②/(X)，g(X)在(“』)内可导③VXG(fl,^),至少存在一点gg(a,b),使得g@)g(b)-g(a)♦不同类型未定式的相互转化化乘为除0通分0•8型>—或一型<8—8型A000取对数函数取指数函数0°,F,00°型*♦函数的单调性、凹凸性、极值的单调区间单

3、调性凹凸性IE増凹负减凸函数的凹凸性函数的极值,函数的单调性呻应用•证明不等式讨论方程的根的个数可能的极值点:驻点、不可导点一个必要非充分条件(P.156定理3)两个充分耳盹要条件(P.156題4、P.158走理5)知识点：驻点vs•拐点驻点拐点使导数为零的点，往往是不同单调区间的分界点不同凹凸区间的分界点定义区间中的点曲线上的点，需要表示成（x0,/（x0））的形式驻点处的切线一定和X轴平行拐点处的切线一定在拐点处穿过曲线♦讨论函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求函数的导数，并确定函数的驻点、不可导点；③将函数的定义域划分为若干个区间，逐一判断导数在各子区间上的符号，

4、从而确定函数在各子区间上的单调性.♦讨论函数凹凸性的一般步骤①确定函数的定义域；②求函数的一、二阶导数，并确定=o的全部实根以及所有使二阶导数不存在的点；③将函数的定义域分为若干个区间，逐一判断二阶导数在各子区间上的符号，从而确定函数在各子区间上的凹凸性.♦极值不一定是最值；最值也不一定是极值（当最值在区间端点处取得时）.♦可能的极值点：驻点、不可导点；可能的最值点：驻点、不可导点、区间端点.♦求函数极值的一般步骤①确定函数的定义域，并求出其导数厂（兀）；②解方程厂（兀）=0,求出/（兀）的全部驻点与不可导点；③讨论厂（工）在驻点或不可导点左、右两侧临近范围内符号变化的情况，确

5、定函数的极值点；④求出各极值点的函数值，就得到函数/（兀）的全部极值.♦求函数最值的一般步骤厂I包括驻点、不可导点设/（兀）在⑷盯上连续，则/（求出即可，无需判断）►求出/（兀）在［a,耐上所有可能的极值点;►计算/（兀）在所有可能的极值点上的函数值，并将它们与/（a）、/（方）作比较，这些值中的最大者就是最大值，最小者就是最小值.♦不定积分第一换元积分法的一般步骤被积函数恒等变形凑微分闇卩（兀）］0（兀）JgS（兀）Meg关键的一步!换元11=（P（X）g（妨+C积分回代g［0（兀）］+C.U=（p（x）♦第一换元积分法与第二换元积分法的比较第一换元积分法j/(x)rfx=j

6、g'[(p(x)](pf(x)dx=Jg'[0(兀(兀)=^gu)du.第二换元积分法第二换元积分法>fbW(f)£/(x)Jx=(p(a)=a,(p(/J)=b第一换元积分法►换元同时换限：上限对应上限，下限对应下限，下限不一定小于上限.►换元后，不需要像求不定积分那样代回原积分变量，只需要对新积分变量应用牛顿一莱布尼茨公式.♦分部积分法前提：设m,n都是正整数.被积函数的类型u(x)例子xne,,lxxnsimnxxHcosinxxnJx2sin2xrfxxnInxxnarcsiivnxxnarccos/nxxnarctaivnxxnarccot/?zxlnxarcsii

7、vnxarccos/nxarctanz/zxarccotznxJx3xdxJxarctanxJxenxsininxenxcosnixu,"可随意选择，但在两次分部积分中，必须选取同类型的以便产生循环式，从而解出所求的积分.jexsinxdx♦欧拉公式：设a,0都是实数，则(cos0+isin0)・♦一阶线性微分方程的求解卜一阶常微分方程的一般形式£=/可分离变量的微分方程/齐次方程/一阶线性微分方程厂z=y[~n/伯努利方程>—变量代换u=y/x常数变易法+P(x)y=Q(x)4-P(x