数学：第13讲《从反面情况考虑》讲义

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1、五年级数学星队秋季第十三讲从反面情况考虑例1(1)如图长方形ABCD的长AD为9cm,宽AB为6cm,AE=4cm,FC=5cm,则阴影部分的面积是多少?ADEBFC(2)如图长方形ABCD的长AD为9cm,宽AB为6cm,ADE、四边形DEBF及CDF的面积相等,则阴影部分的面积是多少?ADEBFC【分析】(1)阴影部分是一个三角形,要求面积必须先找底和高,但是发现不管以哪条边为底,底和高都很难求,所以我们从反面考虑,先求出空白部分面积,再用长方形面积减掉空白部分面积．在未来几何图形的学习中这

2、种方法会频繁出现．三角形ABCD的面积为9×6=54平方厘米,ADE的面积为9×4÷2=18平方厘米、CDF的面积为6×5÷2=15平方厘米,BEF的面积为2×4÷2=4平方厘米,所以DEF的面积为54-18-15-4=17平方厘米.(2)长方形ABCD的面积为9×6=54平方厘米,ADE、四边形DEBF及CDF的面积相等,所以每一块的面积为54÷3=18平方厘米．那么AE的长度为18×2÷9=4厘米,CF的长度为18×2÷6=6厘米,所以BE=6－4=2厘米,BF=9－6=3厘米,所以BEF的

3、面积为2×3÷2=3平方厘米,所以阴影部分面积为18－3=15平方厘米．例2(1)如图,已知正方形的边长为10厘米,则阴影部分的面积为______平方厘米.(圆周率取3.14)(2)如图所示,图中是一个正六边形,面积为1040平方厘米,空白部分是6个半径为10厘米的小扇形,则阴影的面积为______平方厘米.(圆周率取3.14)【分析】(1)阴影部分的面积为总面积减空白,空白部分的面积可以合成一个圆形,因此阴影部分的面积为22103.14521.5(平方厘米).(2)所要求的阴影面积是用正

4、六边形的面积减去六个小扇形面积.扇形的面积和为12026π10628(平方厘米),360阴影部分的面积1040628412(平方厘米)．例3下图为4×4的点阵,取不同的三个点可能组合一个三角形,问总共可以组成_________个三角形．【分析】反面考虑,可以从总数中去掉不能组成三角形的点.3333CCCC824164435603284516练一练如图，有53个点，取不同的三个点可以组合一个三角形，问总共可以组成个三角形．【分析】3从中任选三点有C455种选法，1

5、5其中三个点在一条直线上的有3335C6243．其中3C表示55三条横直线上的5个点任取3个点，5表示5条竖线段上的3个点，6表示田字格对角线，2表示大长方形的2条对角线．所以，可以组成三角形45543412个三角形．例410个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法?【分析】从所有的两人组合中排除相邻2的情况，总的组合数为C45，10而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有451035种．例5（1）所有三位数中,与456相加至少产生一次进位的数有多少个?（2）

6、所有三位数中,与456相加产生的进位次数少于三次的数有多少个?（3）所有三位数中,与456相加至少产生一次进位且不出现数字6的数有多少个?【分析】（1）与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能,所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便,所有的三位数一共有99999900个,其中与456相加不产生进位的数,它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能,十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能,个位数可以取0、1、2、3共4种可能,根据乘法原理,一共有554100

7、个数,所以与456相加产生进位的数一共有900100800个数.（2）所有三位数排除与456相加在个位、十位、百位都产生进位的数,所有的三位数一共有99999900个,其中与456相加进位三次,个位可取4、5、6、7、8、9共6种可能,十位可取4、5、6、7、8、9共6种可能,百位可取5、6、7、8、9共5种可能,根据乘法原理,一共有665180个数,少于三次进位的数有900180720个.（3）所有三位数中与456相加产生进位的数一共有800个,三位数含有数字6与456

8、相加一定进位,三位数中含有数字6的数有900899252个,与456相加至少产生一次进位且不出现数字6的数有800252548个.练一练在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个?【分析】三位偶数共有9105450个，不含6的偶数共有894288则至少出现一个6的三位偶数有450288162个．例6能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【分析】考虑反面，即“能被3整除但所有位都不是6的四位数有多少个”.因为所有位都不是6，所以千位、百位、十位依次有8种、9种、9种