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1、圆周角定理(第1课时）莲湖一中黎梅梅一.教学目标(一)知识与技能1.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论。2.准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。(二)过程与方法1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。2.经历探究同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程,进一步体会分类讨论、转化的思想方法。3.通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生探究问题的兴趣。(三)情感与价值观1.经过探索圆周角定理的过程,发展学生的数学思考能力。2.通过积极引导,帮助学生有意识主动探究,并能在探究
2、中获得成功的体验。二.学情分析本节课是在学生掌握了圆的有关概念、圆的对称性、圆心角等知识的基础上,重点研究圆周角定理及其推论。用已有的知识探究一个新的问题,其本身有一定的难度,对学生的要求比较高,九年级的学生虽然已经具备了一定的学习能力,但由于圆周角定理的证明,需要分三种情况进行讨论逐一证明,这对学生来说较为生疏,很难把相关知识完整地纳入已有的知识系统,因此在教学中我力图通过直观展示、动手试验、验证探索圆周角定理,使学生逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。三.重点难点1.教学重点圆周角定理、圆周角定理的
3、推导.2.教学难点圆周角定理分三种情况逐一证明四.教学过程活动1【导入】温故知新复习之前讲的圆的性质,垂径定理和圆心角定理,然后引入今天学习圆的又一性质圆心角定理。活动2【讲授】圆周角的概念师:出示PPT,请同学们思考图中∠ACB的顶点和边有哪些特点?生:①顶点都在圆周上;②两边都与圆相交。师:评价并鼓励学生的总结给出肯定,我们把顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。(教师出示圆周角的定义,并强调定义的两个要点。)设计意图:让学生经历观察、分析、得出圆周角定义,理解圆周角概念。.师:出示PPT,请同学们完成教科书88页,
4、练习1。(学生思考片刻之后,教师请一位学生作答,其他学生判断她回答正确与否.)设计意图:为了使学生更加容易地掌握概念,教科书并排地呈现正例和反例,可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较.活动3【活动】探究圆周角定理师:出示PPT,请同学们自己画出一条弧BC以及它所对的圆心角和圆周角,并用量角器分别测量他们的度数,回答∠ACB和∠AOB有怎样的数量关系?并请同学回答,你得出了什么结论?(留出足够时间供同学们自己画图、探讨,并归纳出结论)生:∠ACB=1/2∠AOB教师引导学生用语言归纳出:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
5、的一半师:继续出示PPT,引导学生画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC的几种位置关系?并用PPT展示。师:圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.活动4【活动】圆周角定理的证明师:要得出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,那么以上述三种情况我们都必须要证明。我们先选择其中的第一种情况进行证明。那么如何证明呢?(学生先独立思考,然后在同伴间悄悄交流自己的思路.)生:由同圆半径相等可知,OC=OB,所以∠C=∠B,根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得,∠A
6、OB=∠C+∠B=2∠C,即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.师:证明得非常好,给予鼓励!师:当圆心在圆周角的一边上的时候,圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径,因此给证明思路的寻找带来了不少方便,当圆心不在圆周角的边上时,比如在角的内部,又该如何证明呢?(学生开始对第二种情况观察,分析,交流……)生:连接AO并延长交⊙O于点D,可以转化为第一种情况的证明,即,如果作过点C的直径CD,那么,由(1)中的结论可知:∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,两式相加即可得到∠ACB=∠AOB.师:很好!请同学们在学案上
7、写出这种情况下的证明过程,之后完成最后一种情况的证明,同伴之间交流自己的证明思路.(各小组学生思考交流后一种情况的证明思路,完成证明过程.教师做思路和规范性点评.)设计意图:在本段的教学中,注意突出图形性质的探究过程,重视学生主体地位的落实,通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质,从而让学生学会分析问题和解决问题的方法.另外,教学时尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述,以强化对数学知识的学习与理解,加强数学语言的运用与表达.师:通过上面的证明,我们得到:同弧所对的圆周角等于这条
8、弧所对的圆心角的一半.其实,等弧的情况下该命题也是成立的。(教师板书)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.活动5【活动】圆周角定理的推论1.教师出示PPT,思考:一条弧所对的圆周角之间有什么关系?同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系?(学
