质量惯矩(即转动惯量)的计算

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1、工程应用一：桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算赵凯李永乐（西南交通大学桥梁工程系，四川成都，610031，lele@swjtu.edu.cn）1.概念1.1定义质量惯性矩（或称质量惯矩，转动惯量）是刚体动力学里的一个重要概念，与质量具有同等重要的地位。质量惯性矩为空间中质量关于距离的二次矩。对于离散质点系，它对空间任意一条直线z的质量惯矩表示为：n2Jmzi=∑rii=1式中，mi是第i个质量块质量，ri表示第i个质量块到直线z的距离。2对于连续体，则需用积分表示：Jr=dmz∫1.2几何意义由定义表达式可见，质

2、量惯矩的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分2布情况有关。在国际单位制中单位为kg·m。质量惯矩越大，则表示质量分布离2z轴越远。若设想刚体的质量集中于离z轴距离为ρz处，令Jm=ρ，则zzJzρ=zm称之为对z轴的回转半径。显然，它代表质量分布到z轴距离的一种“平均”。物体的质量惯矩等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。1.3物理意义理论力学中有关于刚体运动的两个重要定理，分别是2dy动量定理：mF2=∑dt2dϕ动量矩定理：JMzz2=∑()Fdt这两个定理分别描述刚体曲线运动和绕定轴的转动运动规律。动量定理表示质量为物体运动惯性的一种度量。类似地，由

3、动量矩定理可见，力矩大，转动角加速度大；如力矩相同，刚体质量惯矩大，则角加速度小，反之，角加速度大。EngApp-001，20090312，SWJTU1李永乐@西南交通大学桥梁工程系，四川成都（610031）可见，质量惯性矩的大小表现了物体转动状态改变的难易程度，即：质量惯矩是转动惯性的度量。若将转动与位移类比，力矩与力类比，则转动惯矩对应于质量。1.4质量惯性矩VS截面极惯性矩截面极惯性矩表示平面上面积区域关于距离的二次矩，表示为：2I==rdAI+Ipi∫XY材料力学推导了悬臂梁的扭转公式，Tlϕ=GIp因此，极惯性矩是截面抗扭能力的一种度量，代表转动刚

4、度，而质量惯性矩代表了转动惯性。前一个属静力学范畴，后一个主要应用于动力学。2.桥梁结构动力学中的应用结构动力学分析中常常采用集中质量法，假定全部质量聚集在计算平动位移的点上，如图所示。结构运动微分方程一般表示为如下形式：2my(2&&++=ξωy&ωyFt)()对于图示结构，假如各质量点均不会发生绕自身的面外转动（扭转），或者没有质量惯性矩，则质量矩阵中仅包含集中质量，位移矩阵也没有面外转动项。因为质量惯性矩是扭转振动的一个重要特征参数，没有质量惯矩，动力特性分析将得不到扭转振型。但是，工程结构如桥梁的动力计算考虑扭转常常是必须的。这时候就应该计算质量惯矩

5、以计入扭转振型。扭转振动方程为：(2)()Jα&&+2ζαωαα&+ωαα=Mαt又因为质量惯矩的计算取决于质量分布，截面特性不能反映此信息，所以必须单独指定梁的质量惯矩。采用有限元建模，常常采用添加质量点方法（如ANSYS中mass21单元，MSC.MARC中的pointmass，Midas中的节点质量等）。质量点可以设置在单元节点位置，实际建模中先计算主梁单位长度（每延米）质量惯矩，再根据单元长度确定质量点对应的质量惯矩。ANSYS分析中质量矩阵形式的选择应特别小心，当采用一致质量矩阵时，ANSYS会自动计算质量惯矩，该计算结果对于桥梁来说一般是不合适的

6、，因此建议ANSYS分析中采用集中质量矩阵，通过添加质量点的方法考虑质量惯矩。此外需注意的是，上述添加质量点的方法主要应用于单主梁模拟，对于多主梁模型的情况应特别小心，可能需要仔细的力学行为分析。以下例子都是基于单主梁模型的。EngApp-001，20090312，SWJTU2工程应用一：桥梁结构动力分析中质量惯性矩的定义及计算3.计算方法3.1简单形状物体的转动惯量计算z（1）双质量球22mmJmlm=⋅2(0.5)=0.5lzl（2）均质细杆：z3l/222l1Jd=⋅()ρρxx==mlzl∫l−l/21212ACBxlxdx（3）任意均质多边形22J

7、r===dmrρdAIρzp∫∫z3.2平行移轴公式刚体对于任一轴的质量惯性矩，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的质量惯性矩，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即2JJm=+dzzc3.3桥梁结构主梁质量惯矩的计算质量惯矩计算主要考虑主梁，以及公路桥面铺装、铁路轨道、道砟、防撞护栏、路灯、接触网设备、检修轨道等二期恒载，更详细的计算尚应考虑横隔板。下面给出每延米质量惯矩（单位kg·m）的计算方法。（1）主梁JI=ρ1p3ρ—主梁材料密度(kg/m)；4IP—主梁净截面的极惯性矩(m)，当主梁截面采用相同材料时IP=IX+IY。（2）公路桥面铺装层假

8、定铺装层为一狭长矩形截面（亦可分多块分别计算），竖向